荡漾的小船产生水波，高速飞行的喷气机产生湍流。数学家和物理学家相信，对纳维叶-斯托克斯方程的理解，可以找到对风和湍流的解释和预测。虽然这些方程在19世纪就被提出，但我们对它们仍知之甚少。我们面临的挑战是在数学理论做出实质性的进步，从而揭开隐藏在纳维叶-斯托克斯方程背后中的秘密。
当两种流体以不同的速度越过彼此时，会出现复杂的不稳定性。
数学家想要证明Navier-Stokes方程可以预测在每种情况下会发生什么。纳维叶-斯托克斯（Navier-Stokes）方程（简称NS方程）在流体力学界就相当于经典力学中的牛顿三大运动定律，它们描述的是气体和液体的运动在不同的环境里会如何演化。这些方程的历史可追溯到19世纪的20年代，现已被广泛的用来模拟从海流、到飞机起飞后的湍流、再到流经心脏的血液流动等各个领域。
为了解决这个问题，数学家尝试发展了许多方法。在去年9月，普林斯顿大学的数学家Tristan Buckmaster和Vlad Vicol在网上提交了一篇论文，引发了大家对一个问题的思考，即多年来数学家用来探寻NS方程问题的一种主要方法，是否有成功的可能性。
Buckmaster和Vicol的研究表明，当我们将NS方程的解设定得非常粗略时，方程的输出便开始失去意义：对同一流体，从相同的初始条件开始，可能会出现两个或更多的非常不同的终态。
数学家用一幅能告诉我们流体中每个位置的水流方向和大小的图来模拟这种相互作用。这种被称为向量场的图是流体内部动态的写照。NS方程将这种写照更提升了一个层次，它能准确地告诉我们向量场在随后的每个时刻会变成什么样子。这些方程描述的流体的流动就好比牛顿方程预测的行星在未来的位置一样可靠，物理学家一直在用它们对流体运动进行模拟和预测，得到的结果与实验结果相符。
光滑解是物理世界的完整写照，但从数学上讲，它们可能并不总是存在。研究NS方程的数学家们担心这种情况出现：假如我们正在运行NS方程，并观察向量场会如何变化。过了一段时间后，方程显示流体中的某个粒子正以无限快的速度移动——问题便来了。如果谁能找到NS方程绝不发生失效、或能确定让其失效的条件，谁就解决了NS方程难题。
当数学家研究像NS这样的方程时，他们有时会从扩大对于解的定义开始。以NS方程为例来说，光滑解要求的是最大化信息量，它们要求在与流体相关的向量场内，每个点都存在一个向量。但如果我们放松这一要求，比如只需要能够计算某些点上的向量，或者只需对向量的计算进行估算呢？这样的解称为“弱”解。它们让数学家对一个方程的行为有个大致个把握，而不需要做找光滑解的所有工作。
1934年，法国数学家Jean Leray定义了一类重要的弱解。在Leray的解决方案中，与其使用精确的向量，他用的是向量场的小邻域中的向量平均值。Leray证明，当解可以采取这种特殊形式时，我们总能求解NS方程。换句话说，Leray解不会失效。Leray的发现为解决NS问题开创了一个新方法：我们可以从Leray解开始，再看看是否能将Leray解转换成想要证明为永远存在的光滑解。
Buckmaster和Vicol的最新研究成果首次证明了，对某些定义下的弱解来说，情况可能就是如此。在他们新发表的论文中，Buckmaster和Vicol考虑的是比Leray解还要更弱的解，与Leray解具有相同的平均原理，并同时额外放松了一个被称为“能量不等式”的要求。他们使用一种叫做“凸体积分”的方法，它起源于数学家约翰·纳什在几何学方面的工作，并在最近被引用到流体研究中。
通过这种方法，Buckmaster和Vicol证明了NS方程的这些非常弱的解是非唯一的。他们展示了如果从一个完全平静的流体开始，例如摆放在床边的一杯水，会有两种情况可能发生。第一种情况是显而易见的：水始于静止并永远静止。第二个情况是匪夷所思的，但在数学上却可行：即水开始静止，但在半夜突然爆发，然后又回到静止。这证明了方程解的非唯一性。