史上最大的素数刚刚被找到,来感受下它的长度

作者: Rafi Letzter

来源: 环球科学

发布日期: 2018-01-13

史上最大的素数M77232917被发现,共有23,249,425位,由GIMPS项目发现。这个数是梅森素数,意味着一个新的完全数被发现。梅森素数的发现有助于数学家理解素数的分布,尽管目前这些素数没有实际应用。

宇宙中素数的最大记录被刷新了,这个被命名为M77232917的最大素数,共23,249,425位,比目前的第二大素数多了将近100万位。仅仅是记录这个数的纯文本文件,在电脑占有的内存超过23M。如果一个人打算挑战手写这个数,一天写1000位,从今天开始算,需要写到2081年。幸运的是,有一个简单的方法可以表述这个数:2^77,232,917-1。

也就是说,这个新素数是2的次方的次方的次方…(重复77,232,917次)然后减1。

在素数中,有一类数是2的n次幂减1,这类数叫梅森素数(Mersenne prime)。最小的梅森素数是3(2^2-1),次小的梅森素数是31(2^5-1)。而这个迄今最大的梅森素数,是在2017年12月底由全球合作项目“互联网梅森素数搜索”(GIMPS)发现的。

一位现年51岁,住在田纳西州的电气工程师Jonathan Pace在自己的电脑上发现了这个数,他参与GIMPS项目已有14年。GIMPS在1月3号的官方声明中称,另外4位参与GIMPS的人用了4种不同的算法,花了六天的时间来验证这个素数。

据田纳西大学的数学家Chris Caldwell个人网站上的信息称,梅森素数的命名源自法国教士马林·梅森(1588-1648)。

梅森提出,当n<=257, 且仅当n=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257时, (2^n-1)是素数,在现代软件解决素数问题的曙光出现前,一个教士能提出这样的理论已是很了不起(事实上他和数学家费马是好朋友)。在1536年,这个理论有了不起的进步之处。此前人们认为,当n为素数时,2的n次幂减1会是素数。不过,梅森的理论也存在错误之处。

梅森理论里的最大数,即2^257-1,其实并不是素数。而且梅森漏掉了几个数:2^61-1, 2^89-1和2^107-1, 尽管后两个数直到20世纪初才被发现。不过,2^n-1形式的素数仍然沿用了这位法国教士的名字。

这些数字非常有趣,一个重要的原因是,每当一个梅森素数被发现,一个完全数同时被发现。Caldwell解释说,一个完全数是指这个数等于除它自身外,所有能整除的正数的和。

最小的完全数是6,因为6=1+2+3,6能被1、2、3整除。下一个完全数是28,28=1+2+4+7+14,接着下一个则是494,再下一个则是8128。Caldwell认为,这些数在耶稣诞生前就被认知,在某些古文明中有着思想上的重要性。

6也可以写成2^(2-1)x(2^2-1),28可以写成2^(3-1)x(2^3-1),494可以写成2^(5-1)x(2^5-1),8128可以写成2^(7-1)x(2^7-1)。看出什么共同点了吗?它们都是梅森素数。

Caldwell在网站中写道,18世纪的数学家莱昂哈德·欧拉证明了两个理论。1. k是奇完备数当且仅当它有2^(2n-1)*(2n-1)的形式且(2n-1)是素数。

2. 如果2n-1是素数,n也是素数。从根本上说,一个新的梅森素数的诞生意味着一个新的完全数的诞生。这两个理论对M77232917同样适用,尽管对应的完备数很大。GIMPS称M77232917对应的完备数为2^(77,232,917-1)x(2^77,232,917-1),有4千6百万位。

有趣的是,所有已知的完全数都是偶数,包括这个,但迄今没有数学家能证明,奇数的完全数绝对不存在。

Caldwell说这是数学界最古老的未解之谜之一。这个发现神奇的地方在哪?M77232917是个很大的数无疑,但它仅是第50个被发现的梅森素数。事实上按照数值大小排序,它有可能并不是第50个。GIMPS项目证实了3和第45个梅森素数(2^37,156,667-1,在2008年被发现)间没有遗漏的梅森素数,但第46个和第50个梅森素数间可能存在“擦肩而过”的梅森素数。

自1996年开启后,GIMPS项目已经找到了16个梅森素数。这些素数从严格意义上讲并没有实用价值,目前为止并没有人发现这些数的用处。但Caldwell认为,发现这些数的荣耀足以成为理由,GIMPS称发现者Pace会得到3000美元的奖励。找到1亿位的素数会有15万美元的奖励。发现第一个10亿位的素数会有25万美元的奖励。

从长远角度来看,发现更多的素数会帮助数学家更深入地理解,素数会在什么情况下出现。但目前,他们还没有发现这个理论,所以找素数的任务只能交由GIMPS,通过计算机简单粗暴的力量来完成。

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