原理
2018-01-12
以下文章来源于数理人文，作者丘成桐。丘成桐因证明卡拉比猜想获得菲尔兹奖，由此确立的卡拉比-丘空间，在爱因斯坦的广义相对论里，相当于存在重力非零的真空宇宙。弦论是统一四种作用力最成熟的物理理论，它断言宇宙是十维的时空，除了日常的四维时空，另外卷缩的六维微小空间正是卡拉比-丘空间。弦论高度整合物理和数学的深刻洞识，反过来促进了数学的新进展，镜对称预言了数学家无法想像的公式，震惊数学界。
数学并非一门不食人间烟火的抽象学问，相反地，它是我们认识物理世界不可或缺的工具。现在，就让我们沿着时间，或更确切地，沿着时空从头说起。
站在巨人的肩上——黎曼几何学
1969年，我到了美国加州大学柏克利分校念研究所。在那里我了解到，19世纪几何学在高斯和黎曼的手上经历了翻天覆地的变化。黎曼的创见，颠覆了前人对空间的看法，给数学开辟了崭新的途径。几何的对象，从此不再局限于平坦而线性的欧几里得空间内的物体。黎曼引进了更抽象的、具有任何维数的空间。在这些空间里，距离和曲率都具意义。此外，在它们上面还可以建立一套适用的微积分，作为研究与分析的工具。
大约五十年后，爱因斯坦发觉包含弯曲空间的这种几何学，刚好可用来统一牛顿的重力理论和狭义相对论，沿着新路迈进，他终于完成了著名的广义相对论。在研究所的第一年，我念了黎曼几何学。它与我在香港时学的古典几何不一样，过去我们只会讨论在线性空间里的曲线和曲面。
在柏克莱，我修了史帕尼尔（Edwin Spanier）的代数拓朴、劳森（Blaine Lawson）的黎曼几何、莫瑞（Charles Morrey）的偏微分方程。此外，我还旁听了包括广义相对论在内的几门课，我如饥似渴地尽力去吸收知识。
当时柏克利数学系大约有500名研究生，地狭人众，大家都没有研究室。课余的时间我都呆在数学图书馆，它简直成了我的办公室。我孜孜不倦地找寻有兴趣的材料来看。
圣诞节到了，别人都回去和家人团聚。我却在读《微分几何期刊》（Journal of Differential Geometry）上米尔诺（John Milnor）的一篇论文，它阐述了空间里曲率与基本群（fundamental group）的关系。我既惊且喜，因为它用到了我刚刚学过的东西。米尔诺的文笔是如此流畅，我通读此文毫不费力。
他文中提及普莱斯曼（Alexandre Preissman）的另一论文，我也极感兴趣。从这些文章中可以见到，负曲率空间的基本群受到曲率强烈的约束，必须具备某些特定的性质。基本群是拓朴上的概念，基本上考虑的是从定点出发的所有回圈，并将可互相形变的回圈视为等价。普莱斯曼定理说，负曲率流形的基本群中，任两个可交换的元素，皆能写成某元素的自乘。
这个结果很引人入胜，我试着推广普莱斯曼的结果，想看看如果空间曲率非正，结果又是如何？这是我平生第一次将空间的曲率（精确的几何描述）和比较粗糙、只留意形态特征的数学理论（称为拓扑学）联系起来。
弯曲就是重力——广义相对论
狭义相对论告诉我们，时间和空间浑为一体，形成时空，不可分割。
爱因斯坦进一步探究重力的本质，他的友人格罗斯曼（Marcel Grossmann）是数学家，爱因斯坦透过他认识到黎曼和黎奇（Ricci）的工作。黎曼引进了抽象空间的概念，并且讨论了其上的距离和曲率。爱因斯坦利用这种空间，作为他研究重力的舞台。爱因斯坦也引用了黎奇的工作，以他创造的曲率来描述物质在时空的分布。黎奇曲率乃是曲率张量的迹（trace），是曲率的某种平均值。
它满足的毕安奇恒等式（Bianchi identity），奇妙地可以看成一条守恒律。爱因斯坦利用了这条守恒律来把重力几何化，从此我们不再视重力为物体之间的吸引力。新的观点是物体的存在使空间产生了曲率，重力应当看作是这种曲率的表现。
对历史有兴趣的读者，爱因斯坦的自家说辞更具说服力。他说：这套理论指出重力场由物质的分布决定，并随之而演化，正如黎曼所猜测的那样，空间并不是绝对的，它的结构与物理不能分割。我们宇宙的几何绝不像欧氏几何那样孤立自足。
当然，爱因斯坦建立这个理论的过程绝非坦途。一开始，他想将重力理论和狭义相对论结合却遭遇失败。
后来，他意识到这是非线性理论，并以重力定律在所有坐标系皆相同的等效原理（equivalence principle）作为指导原则。1912年，他领略到必须以带劳仑兹符征（Lorentzian signature）的黎曼度量来作为重力势。另外，它还必须解决两个问题，首先是如何将狭义相对论的场方程转换到有黎曼度量的情况，然后还需要厘清决定黎曼度量的法则。
1912年到1914年之间，他和格罗斯曼合作，发现第一个问题要使用黎曼几何上的黎奇与李维奇威塔（LeviCivita）所发展的微分计算法，第二个问题的解答，则要应用黎曼建立的二阶微分不变量。
半个多世纪后，我研习爱因斯坦方程组时，发现物质只能决定时空的部分曲率，为此心生困惑，自问能否找到一个真空，即没有物质的时空，但其曲率并不平凡，即其重力非零。
当然，著名爱因斯坦方程的史瓦西（Schwarzschild）解具有这些性质。它描述的乃是非旋转的黑洞，这是个真空，但奇怪地，极端的重力产生了质量。然而这个解具有一个奇点（singularity），在那里所有物理的定律都不适用。我想要找的时空不似史瓦西所描绘的那样是开放无垠的，反之，它是光滑不带奇点，并且是紧致（compact）而封闭的。
即是说，有没有一个紧致而不含物质的空间，即封闭的真空宇宙，但其上的重力却不等于零？这问题在我心中挥之不去，我认为这种空间并不存在。如果能从数学上加以论证，这会是几何学上的一条美妙的定理。
柳暗花明又一村——卡拉比猜想
从上世纪70年代开始，我便在考虑这个问题。当时，我并不知道几何学家卡拉比（Eugenio Calabi）早已提出差不多同样的问题。
他的提问透过颇为复杂的数学语言来表述，其中牵涉及凯勒流形（Kähler manifold）、黎奇曲率、陈氏类（Chern class）等等，看起来跟物理沾不上边。但事实上，卡拉比抽象的猜想也可以翻过来，变为广义相对论里的一个问题。新的内容乃是要求要找的时空具有某种内在的对称性，这种对称物理学家称之为超对称（supersymmetry，用数学语言来说，在这个情况指的就是凯勒流形）。
于是上述的问题便变成这样：能否找到一个紧致而不带物质的超对称空间，其中的曲率非零（即具有重力）？卡拉比猜想不仅指出封闭而具重力的真空的存在性，而且还给出系统地大量构造这类空间的途径，大家都认为世间那有这样便宜的东西可捡。可是，纵然不乏怀疑卡拉比猜想的理由，但没人能够反证它。我与其他人一起试图证明卡拉比猜想所描述的空间并不存在，花了差不多三年。
1973年我出席了在斯坦福大学举行的国际几何会议。
这会议是由奥瑟曼（Robert Osserman）和陈省身老师组织的。也许是由于我与两人的关系，我有幸作出两次演讲。在会议期间，我告诉了一些相识的朋友，说已经找到了卡拉比猜想的反例。消息一下子传开了，徇众要求，当天晚上另作报告。那晚30多位几何工作者聚集在数学大楼的三楼，其中包括卡拉比、陈师和其他知名学者。我把如何构造反例说了一遍，大家似乎都非常满意。卡拉比还为我的构造给出一个解释。
大会闭幕时，陈师说我这个反例或可视为整个大会最好的成果，我听后既感意外，又兴奋不已。
可是，真理总是现实的。两个月后我收到卡拉比的信，希望我厘清反例中一些他搞不清楚的细节。看见他的信，我马上就知道我犯了错。接着的两个礼拜，我不眠不休，希望重新构造反例，身心差不多要垮掉。经过多次失败后，我转而相信这猜想是对的。于是我便改变了方向，把全副精力放在猜想的证明上。花了几年工夫，终于在1976年证明了这个重要的猜想。好消息是，证明卡拉比猜想，也让我之前构造的许多“反例”变成重要的定理。
另外，在斯坦福那个会议上，物理学家葛洛克（Robert Geroch）在报告中谈到广义相对论中的一个重要课题——正质量猜想（positive mass conjecture）。这猜想指出，在任何封闭的物理系统中，总质量（能量）必须是正数。我和孙理察（Richard Schoen）埋头苦干，利用了最小曲面（minimal surface），证明了正质量猜想。
这段日子的工作把我引到广义相对论，我们证明了几条有关黑洞的定理。与相对论学者交流的愉快经验，使我更能开放怀抱与物理学家合作。几年之后，更参与了弦论的发展。
在证明卡拉比猜想时，我引进了一个方案，用以寻找满足卡拉比方程的空间，这些空间现在通称为卡拉比-丘空间。我深深地感到，我无心插柳，已经进入了一界数学高地。它必定与物理有关，并能揭开自然界深深埋藏的隐祕。然而，我并不知道这些想法在那里会大派用场，事实上，当时我懂得的物理也不多。
抚弦轻拨十维琴——弦论
1984年，我接到物理学家赫罗维兹（Gary Horowitz）和斯特罗明格（Andy Strominger）的电话。他们兴冲冲的谈到有关宇宙真空状态的一个模型，这模型是建基于一套叫弦论的崭新理论。弦论的基本假设是，所有最基本的粒子都是由不断振动的弦线所组成的，这些弦线非常非常细小。某些弦论要跟量子力学相容不排斥，时空必须容许某种超对称性，同时时空还必须是十维的。
我在解决卡拉比猜想时证明存在的空间，得到赫罗维兹和斯特罗明格的喜爱。他们相信这些空间会在弦论中担当重要的角色，原因是它们具有弦论所需的那种超对称性。他们希望知道这种看法对不对，我告诉他们，那是对的，他们听到后十分高兴。
不久，威腾（Edward Witten）打电话给我，我们是上一年在普林斯顿相识的。他认为就像当年量子力学刚刚面世那样，理论物理学最激动人心的时刻来临了。
他说每一位对早期量子力学有贡献的人，都在物理学史上留名。爱因斯坦在他的后半生花了三十年致力于统一理论，但至死也未竟全功。早期弦学家如葛林（Michael Green）和施瓦茨（John Schwarz）等人的重要发现，有可能终究把所有自然力统一起来。
当时威腾正与坎德拉斯（Philip Candelas）、赫罗维兹和斯特罗明格一起，希望搞清楚弦论中那多出来的六维空间的几何形状。
他们认为这六维卷缩成极小的空间，并称此空间为卡拉比-丘空间，因为它源于卡拉比的猜想，并由我证明其存在。弦论认为时空的总维数为十。我们熟悉的空间是三维，加上时间，那便是爱因斯坦理论中的四维时空。此外的六维属于卡拉比-丘空间，它独立的暗藏于四维时空的每一点里。我们看不见它，但弦论说它是存在的。
这个添了六个维度的空间够神奇了，但弦论并不止于此，它进一步指出卡拉比-丘空间的几何，决定了这个宇宙的性质和物理定律。哪种粒子能够存在，质量是多少，它们如何相互作用，甚至自然界的一些常数，都取决于卡拉比-丘空间或本书所谓“内空间”的形状。理论物理学家利用狄拉克算子（Dirac operator）来研究粒子的属性。透过分析这个算子的谱（spectrum），可以估计能看到粒子的种类。
十个维数的时空可以想成是四维时空和六维卡拉比-丘空间的乘积。因此，当我们运用分离变数法求解算子谱时，它肯定会受卡拉比-丘空间所左右。卡拉比-丘空间的直径非常小，因此非零谱所对应的粒子质量变得异常大。这类粒子很难观测到，因为它们只会在极度高能量的状态下才会出现。另一方面，具有零谱的粒子是可能观测到的，它们取决于卡拉比-丘空间的拓朴。由此可见，这细小的六维空间，其拓朴在物理中是如何举足轻重。
爱因斯坦过去指出，重力不过是时空几何的反映。弦学家更进一步，大胆地说这个宇宙的规律，都可以由卡拉比-丘空间的几何推演出来。这个六维空间究竟具有怎样的形状，显然就很重要了。弦学家正就此问题废寝忘餐，竭尽心力地研究。
威腾很想多知道一点卡拉比-丘空间。他从普林斯顿飞来圣地亚哥，与我讨论如何构造这些空间。他还希望知道究竟有多少个卡拉比-丘空间可供物理学家拣选。
原先，他们认为只有少数几个拓朴类可作考虑，是以决定宇宙“内空间”的任务不难完成。可是，我们不久便发现，卡拉比-丘空间比原来估计的来得多。1980年初，我想它只有数万个，然而，其后这数目不断增加，迄今未止。于是，决定内空间的任务一下子变得无比困难，假如稍后发现有无数卡拉比-丘空间的话，就更遥不可及了。当然，后者是真是假还有待验证，我一直相信，任何维度卡拉比-丘空间的拓朴类型都是有限的。
于无声处听惊雷——镜对称
卡拉比-丘空间的热潮，始于1984年，当时的物理学家，开始了解到这些复空间或会用于新兴的理论上。热情持续了几年，便开始减退了。可是到了上世纪80年代末期，格林恩（Brian Greene）、普列瑟（Ronen Plesser）、坎德拉斯等人开始研究镜对称（mirror symmetry）时，卡拉比-丘空间又重新成为人们的焦点。
镜对称乃是两个具有不同拓朴的卡拉比-丘空间，看起来没有什么共通点，但却拥有相同的物理定律。具有这样关系的两个卡拉比-丘空间称为“镜伴”（mirror partner）。1995年，斯特罗明格、札斯洛（Eric Zaslow）和我提出一个猜想，对卡拉比-丘空间的子结构提供洞识，为镜对称给出解释。根据这个SYZ猜想的理论，六维卡拉比-丘空间本质上可以分成两个三维空间，其中之一是三维环面。
如果模仿把半径r变成1/r的操作，把这些三维环面“翻转”，并与另一个三维空间结合起来，就会得到原卡拉比-丘空间的镜伴。这个猜想提供了镜对称的几何图象，尽管目前只在一些特殊情况下被证明成立。
数学家把物理学家发现的镜关系搬过来，成为数学上强而有力的工具。在某个卡拉比-丘空间上要解决的难题，可以放到它的镜伴上去考虑，这种做法往往奏效。例如有一个求解曲线数目的问题，悬空了差不多一个世纪，就是这样破解的。它使枚举几何学（enumerative geometry）这一数学分支，重新焕发了青春。这些进展令数学家对物理学家及弦论刮目相看。
镜对称是对偶性的一个重要例子。
它就像一面窗，让我们窥见卡拉比-丘空间的隐祕。利用它，我们确定了在五次三维形（一种卡拉比-丘空间）上给定阶数的有理曲线的总数，这是一个非常困难的问题。这类问题称为舒伯特问题。它源于19世纪，德国数学家舒伯特（Hermann Schubert）首先证明，在五次三维形上共有2,875条一阶有理曲线。到了1986年，卡兹（Sheldon Katz）证明了有609,250条二阶曲线。
1989年前后，两位挪威数学家艾林斯路得（Geir Ellingsrud）和司聪默（Stein Strømme）利用代数几何的技巧，一下子找到2,682,549,425条三阶曲线。可是另一方面，以坎德拉斯为首的一组物理学家，却利用弦论找到317,206,375条三阶曲线。他们在寻找的过程当中，用了一条并非由数学推导出来却适用于任意阶数曲线的公式。这公式的真确与否，还有待数学家验证。
1990年1月，在辛格（Isadore Singer）的敦促下，我组织了弦学家和数学家首次的主要会议。大会在柏克莱的数学科学研究院（MSRI）举行。会议上拥艾林斯路得-司聪默结果的人和拥坎德拉斯团队的人分成两派，壁垒分明，各不相让。这局面维持了几个月，直到数学家在他们写的程式中发现错误，经修正后，结果竟与物理学家找到的数目完全吻合。经此一役，数学家对弦学家深刻的洞察力，不由得肃然起敬。
不知有吾身 此乐最为甚
话说回来，我们必须紧记，弦“论”毕竟是一套理论而已，它还未给实验所验证。事实上，有关的实验还没有设计出来。弦论是否真的与原来设想的那样描述自然，还是言之过早。欧洲核子研究组织（CERN）日内瓦实验室的大型强子对撞机，或许可以找到余维空间或者超对称粒子存在的线索。这些发现可以和弦论相容，但不足以证明其正确性。
如果要给弦论打分的话，从好的方面来说，弦论启发了某些极之精妙而有力的数学理论，从中获得的数学式子已经有了严格的证明，弦论的对错与否，都不能改变其真确性。弦论纵使还没有为实验所证实，它始终是现存的唯一能够统一各种自然力的完整理论，而且它非常漂亮。试图统一各种自然力的尝试，竟然导致不同数学领域的融和，这是从来没有想过的。
当然，现在要作总结还不是时候，过去两千年间，几何学屡经更替，最终形成今天的模样。
而每次重要的转变，都基于人类对大自然的崭新了解，这应当归功于物理学的最新进展。我们或将亲眼看到21世纪的重要发展，即量子几何的面世，这门几何未来将把细小的量子物理和大范围的广义相对论结合起来。就弦论而言，我们看到几何和物理如何走在一起，催生了美妙的数学与精深的物理。这些数学是如此的美妙，影响了不同的领域，使人们相信它在物理中必有用武之地。可以肯定的是，故事还会继续下去。
本人能在其中担当一角色，与有荣焉。今后并将倾尽心血，继续努力。