丘成桐因证明卡拉比猜想获得菲尔兹奖，由此确立的卡拉比-丘空间，在爱因斯坦的广义相对论里，相当于存在重力非零的真空宇宙。
弦论是统一四种作用力最成熟的物理理论，它断言宇宙是十维的时空，除了日常的四维时空，另外卷缩的六维微小空间正是卡拉比-丘空间。弦论高度整合物理和数学的深刻洞识，反过来促进了数学的新进展，镜对称预言了数学家无法想像的公式，震惊数学界。
数学并非一门不食人间烟火的抽象学问，相反地，它是我们认识物理世界不可或缺的工具。现在，就让我们沿着时间，或更确切地，沿着时空从头说起。
1969年，我到了美国加州大学柏克利分校念研究所。在那里我了解到，19世纪几何学在高斯和黎曼的手上经历了一场翻天覆地的变化。黎曼的创见，颠覆了前人对空间的看法，给数学开辟了崭新的途径。
几何的对象，从此不再局限于平坦而线性的欧几里得空间内的物体。黎曼引进了更抽象的、具有任何维数的空间。在这些空间里，距离和曲率都具意义。此外，在它们上面还可以建立一套适用的微积分，作为研究与分析的工具。
大约五十年后，爱因斯坦发觉包含弯曲空间的这种几何学，刚好可用来统一牛顿的重力理论和狭义相对论，沿着新路迈进，他终于完成了著名的广义相对论。在研究所的第一年，我念了黎曼几何学。它与我在香港时学的古典几何不一样，过去我们只会讨论在线性空间里的曲线和曲面。在柏克莱，我修了史帕尼尔的代数拓朴、劳森的黎曼几何、莫瑞的偏微分方程。此外，我还旁听了包括广义相对论在内的几门课，我如饥似渴地尽力去吸收知识。
当时柏克利数学系大约有500名研究生，地狭人众，大家都没有研究室。课余的时间我都呆在数学图书馆，它简直成了我的办公室。我孜孜不倦地找寻有兴趣的材料来看。圣诞节到了，别人都回去和家人团聚。我却在读《微分几何期刊》上米尔诺的一篇论文，它阐述了空间里曲率与基本群的关系。我既惊且喜，因为它用到了我刚刚学过的东西。
米尔诺的文笔是如此流畅，我通读此文毫不费力。他文中提及普莱斯曼的另一论文，我也极感兴趣。
从这些文章中可以见到，负曲率空间的基本群受到曲率强烈的约束，必须具备某些特定的性质。基本群是拓朴上的概念，基本上考虑的是从定点出发的所有回圈，并将可互相形变的回圈视为等价。普莱斯曼定理说，负曲率流形的基本群中，任两个可交换的元素，皆能写成某元素的自乘。这个结果很引人入胜，我试着推广普莱斯曼的结果，想看看如果空间曲率非正，结果又是如何？
这是我平生第一次将空间的曲率（精确的几何描述）和比较粗糙、只留意形态特征的数学理论（称为拓扑学）联系起来。
狭义相对论告诉我们，时间和空间浑为一体，形成时空，不可分割。爱因斯坦进一步探究重力的本质，他的友人格罗斯曼是数学家，爱因斯坦透过他认识到黎曼和黎奇的工作。爱因斯坦利用这种空间，作为他研究重力的舞台。
爱因斯坦也引用了黎奇的工作，以他创造的曲率来描述物质在时空的分布。黎奇曲率乃是曲率张量的迹，是曲率的某种平均值。它满足的毕安奇恒等式，奇妙地可以看成一条守恒律。爱因斯坦利用了这条守恒律来把重力几何化，从此我们不再视重力为物体之间的吸引力。新的观点是物体的存在使空间产生了曲率，重力应当看作是这种曲率的表现。
当然，爱因斯坦建立这个理论的过程绝非坦途。一开始，他想将重力理论和狭义相对论结合却遭遇失败。后来，他意识到这是非线性理论，并以重力定律在所有坐标系皆相同的等效原理作为指导原则。1912年，他领略到必须以带劳仑兹符征的黎曼度量来作为重力势。
从上世纪70年代开始，我便在考虑这个问题。当时，我并不知道几何学家卡拉比早已提出差不多同样的问题。他的提问透过颇为复杂的数学语言来表述，其中牵涉凯勒流形、黎奇曲率、陈氏类等等，看起来跟物理沾不上边。但事实上，卡拉比抽象的猜想也可以翻过来，变为广义相对论里的一个问题。
新的内容乃是要求要找的时空具有某种内在的对称性，这种对称物理学家称之为超对称。于是上述的问题便变成这样：能否找到一个紧致而不带物质的超对称空间，其中的曲率非零（即具有重力）？
卡拉比猜想不仅指出封闭而具重力的真空的存在性，而且还给出系统地大量构造这类空间的途径，大家都认为世间那有这样便宜的东西可捡。可是，纵然不乏怀疑卡拉比猜想的理由，但没人能够反证它。我与其他人一起试图证明卡拉比猜想所描述的空间并不存在，花了差不多三年。
1973年我出席了在斯坦福大学举行的国际几何会议。这会议是由奥瑟曼和陈省身老师组织的。也许是由于我与两人的关系，我有幸作出两次演讲。在会议期间，我告诉了一些相识的朋友，说已经找到了卡拉比猜想的反例。消息一下子传开了，徇众要求，当天晚上另作报告。那晚30多位几何工作者聚集在数学大楼的三楼，其中包括卡拉比、陈师和其他知名学者。我把如何构造反例说了一遍，大家似乎都非常满意。
可是，真理总是现实的。两个月后我收到卡拉比的信，希望我厘清反例中一些他搞不清楚的细节。看见他的信，我马上就知道我犯了错。接着的两个礼拜，我不眠不休，希望重新构造反例，身心差不多要垮掉。经过多次失败后，我转而相信这猜想是对的。于是我便改变了方向，把全副精力放在猜想的证明上。花了几年工夫，终于在1976年证明了这个重要的猜想。
1984年，我接到物理学家赫罗维兹和斯特罗明格的电话。他们兴冲冲的谈到有关宇宙真空状态的一个模型，这模型是建基于一套叫弦论的崭新理论。弦论的基本假设是，所有最基本的粒子都是由不断振动的弦线所组成的，这些弦线非常非常细小。某些弦论要跟量子力学相容不排斥，时空必须容许某种超对称性，同时时空还必须是十维的。
我在解决卡拉比猜想时证明存在的空间，得到赫罗维兹和斯特罗明格的喜爱。他们相信这些空间会在弦论中担当重要的角色，原因是它们具有弦论所需的那种超对称性。他们希望知道这种看法对不对，我告诉他们，那是对的，他们听到后十分高兴。
不久，威腾打电话给我，他认为就像当年量子力学刚刚面世那样，理论物理学最激动人心的时刻来临了。他说每一位对早期量子力学有贡献的人，都在物理学史上留名。弦论认为时空的总维数为十。我们熟悉的空间是三维，加上时间，那便是爱因斯坦理论中的四维时空。此外的六维属于卡拉比-丘空间，它独立的暗藏于四维时空的每一点里。我们看不见它，但弦论说它是存在的。
卡拉比-丘空间的热潮，始于1984年，当时的物理学家，开始了解到这些复空间或会用于新兴的理论上。热情持续了几年，便开始减退了。可是到了上世纪80年代末期，格林恩、普列瑟、坎德拉斯等人开始研究镜对称时，卡拉比-丘空间又重新成为人们的焦点。
镜对称乃是两个具有不同拓朴的卡拉比-丘空间，看起来没有什么共通点，但却拥有相同的物理定律。具有这样关系的两个卡拉比-丘空间称为“镜伴”。1995年，斯特罗明格、札斯洛和我提出一个猜想，对卡拉比-丘空间的子结构提供洞识，为镜对称给出解释。根据这个SYZ猜想的理论，六维卡拉比-丘空间本质上可以分成两个三维空间，其中之一是三维环面。
这段日子的工作把我引到广义相对论，我们证明了几条有关黑洞的定理。与相对论学者交流的愉快经验，使我更能开放怀抱与物理学家合作。几年之后，更参与了弦论的发展。
当然，现在要作总结还不是时候，过去两千年间，几何学屡经更替，最终形成今天的模样。而每次重要的转变，都基于人类对大自然的崭新了解，这应当归功于物理学的最新进展。
我们或将亲眼看到21世纪的重要发展，即量子几何的面世，这门几何未来将把细小的量子物理和大范围的广义相对论结合起来。就弦论而言，我们看到几何和物理如何走在一起，催生了美妙的数学与精深的物理。这些数学是如此的美妙，影响了不同的领域，使人们相信它在物理中必有用武之地。可以肯定的是，故事还会继续下去。本人能在其中担当一角色，与有荣焉。今后并将倾尽心血，继续努力。