魔方，这个最受欢迎的益智游戏之一，是一种典型的通过移动来改变组件排列组合的机械益智玩具。鉴于还原一个魔方的难度之高，它能一度风靡世界且至今仍能十分受欢迎还真有点不可思议。其实很少有不需要依靠任何书本或网络教程作指导就能还原魔方的人。甚至连它的发明者——匈牙利的建筑学教授鲁比克·艾尔诺（Rubik Ernő）在1974年发明魔方后，还花上好几周的时间才知道如何复原魔方。
到了1980年代，魔方更是风靡一时，直到30年后的今天，人们对魔方的狂热并没有完全退却，依然有人在继续发现与魔方有关的新事物。例如，数学家 Morley Davidson 和 Tomas Rokicki 在2014年证明在四分之一圈度量下（每转动90度算作一步的计算方法），三阶魔方的“上帝之数”（最少的还原步数）是26。他们的计算在一台超级计算机的辅助下得以完成。
魔方的组合状态的数量大到不可思议，约有430多亿种。这是什么概念呢？假如我们有一个边长为6厘米的魔方，若将它所有可能的组合平面铺开，可以覆盖地球表面275次。虽然这个数字很大很大，但毕竟它是有限的，所以能找出某种意义上所谓的“最坏的情况”，即某一组合处于一种最乱状态。而上帝之数就是指“上帝”或者超级计算机从这种最乱状态开始还原魔方所需的步数。多年来我们知道的是，有几种组合需走完26步才能还原。
唯一一种已知的最乱状态是“超级翻转”（superflip），超级翻转组合是指魔方处于每个魔块的位置都对，但每个棱块都反向的状态。现在，魔方的最佳还原选手们（比如电脑）可以对任意打乱的魔方在不到一秒的时间内用最少步数将其还原。所以看起来似乎寻找其他最乱状态这个难题应该是可以解决的，只是得靠“蛮力”而已：让电脑对每一种组合进行最快复原，再取所有还原步数里的最大值，就可以知道那些是最乱的组合了。
可问题是，一个三阶魔方存在430亿多种组合可能。所以，即使电脑能在1秒之内为100万种组合计算出最佳复原方案，还是需要136万多年才能完成所有组合的计算。Davidson 和 Rokicki 找到了一个巧妙的方法，能大大减少需要计算的组合，将430亿这个庞大的数字削减为几十亿。这让位于俄亥俄州的超级计算机中心只需用几天的时间就能完成这个约需32年CPU时间的计算量。
基于排列组合的机械益智玩具有很多，有的远早于魔方的存在，如在中国古代就有鲁班球和孔明锁等。这样的游戏在欧美国家也有很多，比如说曾在1880年风靡全美的“15谜题”（15-puzzles，一种初始状态为16宫格，其中前15个方格内填有数字，需上下左右移动方块来排序数字的游戏）。
美国的益智游戏设计师——被称为“谜题界最大的名人、伟大的普及者、天才”—— Sam Loyd，后来进一步推广了这个“15谜题”。他设立了1000美元的奖金，要提供给能够找到知道如何调换14和15位置的人。想必他早就知道这是不可能的吧，他甚至可能知道这是数学家 Wm. Woolsey Johnson 和 William E. Story 已经在1879年就证明过的定理。
还有一个非常古老的基于排列组合几何图块的益智游戏是“十四巧板”（Stomachion）。十四巧板是将一个正方形分解成十四个图块。一旦被分解，要将它们重新组装进正方形中是件相当具有挑战的事。十四巧板吸引了伟大的数学家阿基米德的注意，他还为这一难题写过一篇论文。（可能是最早的游戏攻略了！）可惜这篇论文没有被完好的保存，只有部分内容在阿基米德的羊皮书上被恢复了。
阿基米德想要试图找出这14个图块能组合成多少种不同的形状，不知阿基米德是否找到了答案，对此我们也无从知晓了。但是，康奈尔大学的数学家 Bill Cutler 在计算机的帮助下，计算出可能的方案数量为17152。如果阿基米德真的算出了这个数字，那么他是如何做到这一点或许将永远是一个谜。