编者按：浙江大学数学学院教授、诗人蔡天新最新出版力作——《数学简史》。今天继续推送《数学简史》第八章第三节：《数学与逻辑学》。
20世纪以来，数学的抽象化不仅拉近了它与科学、艺术的关系，也使得它与哲学的有效合作再次变得可能，这是自古希腊和17世纪以来的第三次。巧合的是，数学自身的危机也恰好出现了三次，且二者在时间上几乎一致。
第一次是古希腊时期无理数或不可公度量的发现，这与所有数可由整数或整数之比来表示的论断相矛盾；第二次是在17世纪，微积分在理论上出现了一些矛盾，焦点是：无穷小量究竟是零还是非零。如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，怎么能把包含无穷小量的那些项去掉？
毕达哥拉斯学派发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不能由整数之比表示，这引发了第一次数学危机。
相传有个叫希帕索斯的门徒因为泄密而被扔进地中海淹死，他的出生地梅塔蓬图姆恰巧是他的老师毕达哥拉斯被谋杀的地方。两个世纪以后，欧多克斯通过在几何学中引进不可通约量的概念，将这一危机化解。两条几何线段，如果存在一条第三线段能同时量尽它们，就称这两条线段是可通约的，否则为不可通约的。正方形的边与对角线，就不存在量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。
只要承认不可通约量的存在，所谓的数学危机就不复存在了。
2000多年后，微积分的诞生使得数学再次出现危机，在数学基础层面引发了矛盾。例如，无穷小量是微积分的基础概念之一，牛顿在一些典型的推导过程中，先是用无穷小量做分母进行除法运算，然后把无穷小量看作零，消掉那些包含它的项，从而得到想要的公式。尽管这些公式在力学和几何学领域的应用证明它们是正确的，但其数学推导过程却在逻辑上自相矛盾。
直到19世纪上半叶，柯西发展了极限理论，这个问题才得到解决。柯西认为无穷小量是要怎样小就怎样小的量，在本质上它是以零为极限的变量。
随着19世纪末分析严格化的最高成就——集合论的诞生，数学家们以为有希望一劳永逸地摆脱数学基础所面对的危机。1900年，法国人庞加莱在巴黎国际数学家大会上宣称：“现在我们可以说，完全的严格化已经实现了！
”但是他的话音未落，英国数学家兼哲学家罗素就在第二年给出了简单明了的集合论的“悖论”，挑起了关于数学基础的新的争论，引发了第三次数学危机。为解决这场危机，人们对数学基础进行了更深入的探讨，促进了数理逻辑的发展，使之成为20世纪纯粹数学的又一重要趋势。
1872年，罗素出身于英格兰的一个贵族家庭，其祖父曾两度出任英国首相。罗素3岁时就失去了双亲，严格的清教徒式教育导致他在11岁时对宗教产生了怀疑。他以怀疑主义的目光来探究，“我们能知道多少，以及拥有何种程度的确定性和不确定性”。随着青春期的到来，孤独和绝望徘徊在他心头，让他产生了自杀的念头。最终，对数学的痴迷让他逐渐摆脱了自杀的想法。
18岁那年，罗素考入剑桥大学，此前他受的教育全部是在家中。他试图在数学中寻找确定又完美的目标，但在大学的最后一年，他被德国哲学家黑格尔的观点吸引并喜欢上了哲学。罗素的老师怀海特，他称十七世纪为“天才的世纪”，显而易见，最适合罗素的研究领域应该是数理逻辑，正巧剑桥大学有最适宜的土壤和一流的志同道合者，包括和他亦师亦友的阿尔弗雷德·怀特海、比他小一岁的摩尔和他后来的学生维特根斯坦。
精通数学的罗素认为科学的世界观大多是正确的，在此基础上他确定了三大哲学目标。首先，把人类认识上的虚荣、矫饰减少到最低限度并使用最简单的表达方式。其次，建立逻辑和数学之间的联系。再次，从语言去推断它所描述的世界。对于这些目标，罗素和他的同行后来或多或少地做到了，由此奠定了分析哲学的基础。
罗素的影响之所以深远，部分原因还在于他善于做普及工作。他的哲学著作语言优美、通俗易懂，无论《西方哲学史》《西方的智慧》，还是《人类的知识》，许多当代哲学家便是被他的书吸引入行的。同时，罗素的一些著作超出了哲学的范畴，涉及社会、政治和道德的方方面面，并满怀激情地把敏感问题指出来。他因此两次被监禁、罚款，并被剥夺了在剑桥大学讲课的资格。尽管如此，1950年，罗素仍意外地获得了诺贝尔文学奖。
所谓“罗素悖论”是这样的：有两种集合，第一种集合不是它自己的元素，大多数集合都是这样的；第二种集合是它自己的一个元素A∈A，例如由一切集合组成的集合。那么，对于任何一个集合B，它不是第一种集合就是第二种集合。假设第一种集合的全体构成一个集合M，那么M属于哪种集合？如果M属于第一种集合，那么M应该是M的一个元素，即M∈M，但满足M∈M关系的集合应属于第二种集合，由此出现矛盾。
而如果M属于第二种集合，那么M应该满足M∈M的关系，这样一来M又属于第一种集合，再次出现矛盾。
1919年，罗素又提出上述悖论的通俗形式，即所谓的“理发师悖论”：某乡村理发师宣布了一条规则：他决定给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且只给村里这样的人刮脸。试问：理发师是否给自己刮脸呢？无论如何，这都会得出矛盾的结论，从而明白无疑地揭示了集合论本身确实存在着矛盾。
由于严格的极限理论的建立，数学的第二次危机已经被化解，但极限理论是以实数理论为基础的，而实数理论又是以集合论为基础的，现在集合论遭遇了罗素悖论，因而引发了数学史上的第三次危机。
为了消除悖论，人们开始对集合论进行公理化。最早进行这一尝试的是德国数学家策梅罗，他提出了7条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，后经过德国数学家弗兰克尔的改进，成为一个无矛盾的集合论公理系统，即所谓的“ZF公理系统”。
这场数学危机到此缓和下来，但ZF公理系统本身是否会出现矛盾呢？没人能够保证。美国数学家科恩证明，在ZF公理系统下康托尔连续统假设的真伪无法判别，这在某种意义上否定了希尔伯特在1900年巴黎国际数学家代表大会上提出的第一个问题，科恩因此获得1966年的菲尔兹奖。可以预见，意想不到的事今后仍会不断出现。
为了进一步解决集合论的悖论，人们应该从逻辑上去寻找问题的症结。由于数学家们的观点不同，形成了数学基础的三大学派，分别是：以罗素为代表的逻辑主义学派，以布劳威尔为代表的直觉主义学派，以希尔伯特为代表的形式主义学派。这些学派的形成和活跃，将把人们对数学基础的认识提高到一个空前的高度，虽然他们的努力最终未能取得满意的结果，但却对由莱布尼茨开启的数理逻辑学的形成和发展起到了推动作用。
首先我们来看逻辑主义学派，按照罗素的观点，数学就是逻辑，全部数学都可以由逻辑推导得出，而不需要数学所特有的任何公理。数学概念可以通过逻辑概念来定义，数学定理可以由逻辑公理按逻辑规则推导得出。至于逻辑的展开，则是依靠公理化的方法进行。为了重建数学，他们提出了命题函数和类型论之后，又定义了基数和自然数，并在此基础上建立了实数系、复数系、函数以及全部分析，几何也可以通过数来引进。
这样一来，数学就成了没有内容只有形式的哲学家的数学了。
与逻辑主义学派相反，直觉主义学派的基本思想是：数学独立于逻辑。坚持数学对象的“构造性”定义，是直觉主义的精粹。按照布劳威尔的观点，要证明任何对象的存在，必须同时证明它可以用有限的步骤构造出来。在集合论中，直觉主义只承认可构造的有穷集合，这就排除了像“所有集合的集合”那样容易引发矛盾的集合。
可是，有限的可构造性主张也导致“排中律”（非真即假）被否定，也就是说，无理数的一般概念，以及无限多个自然数中必存在一个最小者这个“最小数定理”也不得不牺牲掉。希尔伯特指出，“禁止数学家使用排中律，就像禁止天文学家使用望远镜。”在批判直觉主义的同时，他抛出了准备已久的“希尔伯特纲领”，后人称之为“形式主义纲领”。希尔伯特主张，数学思维的基本对象是数学符号本身，而非它们表示的意义，如物理对象。
他还认为，所有数学都能归结为处理公式的法则而不用考虑公式的意义。形式主义吸取了直觉主义的某些观点，保留了排中律，引进了所谓的“超限公理”，也证明了施以若干限制的自然数理论的相容性。可是，正当人们满怀希望时，哥德尔却提出了他的不完备性定理。
维特根斯坦在介绍哥德尔的不完备性定理之前，我想先谈谈罗素的一个学生和合作者——维特根斯坦，正是他把逻辑学提升到纯粹哲学的高度。
1889年，维特根斯坦出生在维也纳的一个富有的犹太企业家家庭，是8个孩子中年龄最小的，14岁以前他一直在家里受教育。他在柏林读完工程学以后，于1908年考入曼彻斯特大学，专攻航空学，他一生的大部分时光都在英国度过。据说他曾为飞机设计了一种喷气反冲推进器，并因此对应用数学产生了兴趣。之后他喜欢上纯粹数学，为了进一步了解数学基础，又转向数理哲学。
1912年，23岁的工科大学生维特根斯坦来到剑桥大学，在三一学院度过了5个学期。他得到了哲学家罗素和摩尔的赏识，两位大师都认为维特根斯坦的才智至少与他们并驾齐驱。可是，第一次世界大战爆发后，维特根斯坦自愿参加了奥地利军队，起初他在东部前线当一名炮兵，后来去了土耳其，于1918年冬天被意大利士兵俘虏。
此后，维特根斯坦与剑桥失去了联系，罗素在次年出版的《数理哲学导论》里在谈及维特根斯坦的工作时提到，“也不知道他是否还活着”。1919年，维特根斯坦在战俘营里给罗素写了一封信，原来他在狱中读到老师的著作，并解答了书中提出的几个问题。他获释以后，师生二人都希望能尽快相聚，以便当面讨论哲学问题。
可是，由于维特根斯坦受俄国大文豪托尔斯泰的影响，认为不应该享受财富，就把相当可观的私人财产分给了家庭的其他成员，此时的他身无分文。不得已，罗素替维特根斯坦卖掉了他留在剑桥的部分家具，才凑足了他的旅费，两个人终于在阿姆斯特丹会面了。
由这样一位有毅力和责任感的天才经过长期的努力，在不同的时期建立起两种极具独创性的思想体系，完全是有可能的。
不仅如此，维特根斯坦的每一种思想体系都有一种精致而有力的风格，极大地影响了当代哲学。他还留下了两部经典的哲学著作：第一本是《逻辑哲学论》（1921），第二本是《哲学研究》（1953）。除了一篇标题为“关于逻辑形式的一些看法”的短文以外，《逻辑哲学论》是维特根斯坦生前唯一出版的著作。《逻辑哲学论》是一部哲学巨著，这部书的中心问题是：“语言是如何可能称其为语言的？
”让维特根斯坦感到惊讶的是我们司空见惯的一个事实，即一个人居然能听懂他以前从未听到的句子。他对这个问题是这样解释的：一个描述事物的句子或命题必定是一幅图像。命题显示其意义，也显示世界的状态。维特根斯坦认为，所有的图像和世界上所有可能的状态一定具有某种相同的逻辑形式，它既是“表现形式”，也是“实在形式”。
但是，这种逻辑形式本身却得不到说明，或者说是无意义的。
维特根斯坦打了一个比方，它就像梯子，当读者爬上这架梯子后，就必须扔掉它，这样一来才能正确地看世界。不能用语言说明的还有其他一些东西，如实在的简单元素的必然存在，思想和意愿的自我的存在，以及绝对价值的存在。这些不能说明的东西也无法想象，因为语言的界限就是思想的界限。这本书的最后一句话是维特根斯坦留给我们的一句箴言，“对于我们不能言说的，必须保持缄默。
”维特根斯坦声称，“哲学不是一种理论体系，而是一种活动，一种澄清自然科学的命题和揭露形而上学的无为的活动。”实际上，他也在身体力行地从事这项活动。由于维特根斯坦认为，《逻辑哲学论》已经完成了他对哲学的贡献，于是在接下来的几年里他到奥地利南方的几所山村任小学教师，此前他曾独自在挪威的乡间盖了一间小木屋。
回到英国后，维特根斯坦把《逻辑哲学论》提交给剑桥大学，理所当然地获得了博士学位，并很快当选三一学院院士。
此后的6年里，维特根斯坦一直在剑桥大学教书，其间他对《逻辑哲学论》渐生不满，于是开始向两位学生口述（并非老得不能动笔）自己思想的新发展。在他访问过苏联（原打算在那里定居）之后，又到挪威的小木屋住了一年。回到剑桥大学后他接替了摩尔的讲座教授职位，随后爆发了第二次世界大战，他去了伦敦的一家医院做看护，后来又在纽卡斯尔的一家研究所做助理实验员，其间他完成了《哲学研究》的主要部分。
“二战”后，维特根斯坦回到剑桥大学做了两年教授就辞职去了爱尔兰，在那里待了两年写完了全书。说起维特根斯坦的《哲学研究》，虽然它与逻辑学没有必然的联系，却也没有完全脱离数学。在这部力作里，他放弃了原先的想法，认为无穷无尽的语言背后并没有统一的本性。他以游戏为例，指出一切游戏所共有的性质不存在，它们仅具有“家族”的相似性。
他还说，当我们仔细观察作为游戏汇集在一起的各种不同的具体活动时，“便能发现一张由相互重叠、彼此交叉的相似点构成的复杂的网，有时是总体相似，有时是细节相似”。为此维特根斯坦引入了好几个数列的例子，在他看来，数字也构成了这样一个“家族”。他所关心的事情是，领会并遵循一条数学规则的含义是什么？其中一个例子是：当一个人看见另一个人写下1，5，11，19，29，…这些数字时声称，“现在我可以继续写下去了”。
这可能会出现多种情况，其中一种情况是，这个人试图用各种公式来续写这个数列，直到他发现公式an=n2+n–1，19后面的29就验证了这个假设。还有一种情况是，他可能没有想到这个公式，而是注意到前后两个数之差构成了一个等差数列4、6、8、10，他由此知道接下来的那个数是29+12=41。无论哪种情况，他都可以不费力气地继续写下去。
维特根斯坦试图证明的观点是，一个人对于数列的原则理解并不意味着他找到了什么公式，因为他可能根本不需要这个公式。同样，你也可以想象他的理解仅仅源于公式，而不是因为灵光乍现或其他特殊的经验。由此得出的教训是，接受一条规则并不等于穿上了一件紧身夹克。在任何时候，对于规则是接受还是拒绝，都是我们的自由。维特根斯坦还认为，数学运算过程的结果不是事先确定的。
尽管我们可以遵循在我们看来是清清楚楚的程序，但却无法预知这个程序将把我们引向何处。
20世纪末，美国《时代周刊》杂志评选出过去100年里最具影响力的100个人物，其中科技和学术精英占了1/5。在这20个人中，哲学家和数学家各有一位，前者是维特根斯坦，后者是我们接下来要介绍的哥德尔。他们两人的共同点是，都横跨数学和哲学两大领域，都是奥地利人，都用非母语的英文写作。不同的是，一个移居英国后死于剑桥大学，另一个移居美国后死于普林斯顿大学。当然，他们去世时都不是奥地利公民。
1906年，哥德尔出生在摩拉维亚的布吕恩城，今天这座城市的名字叫布尔诺，属于捷克共和国。在历史上布尔诺曾几易其主，19世纪的奥地利遗传学家孟德尔就是在此城的一座修道院里发现了遗传学的基本原理，后来它又成为捷克作曲家亚纳切克终生居住的地方。说起摩拉维亚，在这个中欧著名的地理区域出生的还有精神分析学家弗洛伊德，以及有着“现象学之父”美誉的哲学家胡塞尔，后者曾在维也纳大学数学系获得变分法方向的博士学位。
哥德尔在故乡长大，直到考入维也纳大学攻读理论物理，此前他对数学和哲学产生了浓厚的兴趣，并自学了高等数学。
从大学三年级开始，哥德尔的第一爱好转向了数学，他大学时期的借书卡表明他看了许多数论方面的书。同时，在数学老师的介绍下，他参加了著名的“维也纳小组”的某些活动。这是一个由哲学家、数学家、科学家组成的学术团体，主要探讨的语言和方法论，在20世纪哲学史上占有重要的地位，也被称为“维也纳学派”。在这个学派的宣言书《科学的世界观：维也纳学派》所附名单中，23岁的哥德尔成为14个成员中最年轻的一个。
1930年，他以《逻辑谓词演算公理的完全性》获得哲学博士学位，随后建立了震惊世界的哥德尔第一和第二不完备性定理。1931年1月，维也纳的《数学物理学月刊》发表了一篇题为“论《数学原理》及有关系统的形式之不可判定命题”的论文。几年以后，它就被视为数学史上具有重大意义的里程碑，作者是不到25岁的哥德尔。
这篇论文的结果首先是否定性的，既推翻了数学的所有领域都能被公理化的信念和努力，又摧毁了希尔伯特设想的证明数学的内部相容性的全部希望。同时，这种否定最终促成了数学基础的划时代变革，既分清了数学中的“真”和“可证”的概念，又把分析的技巧引入数学基础。
哥德尔第一不完备性定理：对于包含自然数系的形式体系F，如果是相容的，则F中一定存在一个不可判定命题S，使得S与S之否定在F中皆不可证。
也就是说，自然数系的任何公设集如果是相容的，就是不完备的。由此得出结论：任何形式系统都不能完全刻画数学理论，总有些问题从形式系统的公理出发不能解答。更有甚者，几年以后，美国数学家丘奇证明了，“对于包含自然数系的任何相容的形式体系，不存在有效的方法，判定该体系的哪些命题在其中是可证的”。在第一不完备性定理的基础上，哥德尔进一步提出第二不完备性定理。
哥德尔第二不完备性定理：对于包含自然数系的形式系统F，如果是相容的，则F的相容性不能在F中被证明。也就是说，在真的但不能由公理来证明的命题中，包括了这些公理是相容的（无矛盾性的）这一论断。这就使得希尔伯特的希望破灭了。现在看来，经典数学的内部相容性不可证，除非我们采用那些复杂的推理原则，但这些原则的内部相容性与经典数学的内部相容性一样值得怀疑。
哥德尔的这两条不完备性定理表明，没有哪一部分数学能做到完全的公理推演，也没有哪一部分数学能保证其内部不存在矛盾。这些都是公理化方法的局限性，一方面，它们说明数学证明的程序无法确实不与形式公理的程序相符；另一方面，它们也旁证了人的智慧不能被完全的公式化所替代。对于形式系统来说，“可证”是可以机械地实现的，“真”则需要进一步的思想能动性。换句话说，可证的命题必然是真的，但真的命题却未必是可证的。
哥德尔不完备性定理如今已成为数学史上最重要的定理，但它的证明专业性太强，我们在这里就不做介绍了。值得一提的是，证明中提出的“递归函数”的概念是哥德尔的一位朋友来信建议的，这个朋友三个月后意外死亡。哥德尔不完备性定理出名以后，递归函数也随之誉满天下。递归函数后来成为算法理论的起点，还引导图灵提出了理想计算机的概念，为电子计算机最初的研制提供了理论基础。
与此同时，有关悖论与数学基础的论证也渐趋平静，数学家们把更多的精力放在数理逻辑研究上，大大推动了这门学科的发展。
随着社会分工的进一步细化，人们所受教育的时间不断延长，所学内容也越来越复杂和抽象，这在人类文明的各个领域皆如此。正如凭借王之涣《登鹳雀楼》这类简单明晰的诗歌留名史册已不可能，像费马小定理那样既容易推导又能传世的数学成果也很难再出现。与此同时，无论在数学、自然科学还是艺术、人文领域，人们的审美观念均发生了很大的变化，复杂、抽象和深刻已成为评判的标准和尺度之一。
可喜的是，抽象化并没有导致纯粹数学理论被束之高阁，反而得到了更广泛的应用。这一点恰好说明，数学的抽象化是符合社会潮流的发展和变化的。自从微积分诞生以来，数学作为一种强有力的工具，在17、18世纪推动了以机械运动为主体的科学技术革命，在1860年以后又推动了以发电机、电动机和电气通信为主体的技术革命。
19世纪40年代以来，无论是电子计算机、原子能技术、空间技术、生产自动化还是通信技术，都与数学紧密相关，相对论、量子力学、超弦理论、分子生物学、数理经济学和混沌理论等科学分支所需要的数学工具尤为深奥和抽象。
随着科学技术的进步和现实社会的发展，不断催生出新的数学理论和分支，我们仅以突变理论和小波分析为例。
突变理论诞生于1972年，当年法国拓扑学家、菲尔兹奖得主托姆出版了《结构稳定性与形态发生学》一书。突变理论研究的是系统控制变量经受突然的巨大变化的一系列行为及其分类，它是微分流形拓扑学的一个分支，系统变量最终的性质、行为可绘制成曲线或曲面。以拱桥为例，最初只是比较均匀地变形，直到荷载达到某一临界点时，桥形瞬间发生变化而坍塌。后来，突变理论的思想被社会学家应用于诸如群氓斗殴等社会现象的研究。
再来看小波分析，它被誉为“数学的显微镜”，是调和分析领域的里程碑式进展。大约在1975年，从事石油信号处理工作的法国工程师莫利特提出并命名了“小波”。小波分析或变换是指用有限长的、快速衰减的振荡波形表示信号，与傅里叶变换一样，可用正弦函数之和表示。
二者的区别在于：小波在时域和频域上都是局部的，而傅里叶变换通常只在频域上是局部的；另外，小波计算的复杂度较小，只需O(N)时间，而快速傅里叶变换需要的时间是O(NlogN)。除了信号分析，小波分析还被用于武器智能化、电脑分类识别、音乐语言合成、机械故障诊断、地震勘探数据处理等。在医学成像方面，小波缩短了B超（超声波检查的一种）、CT和核磁共振成像的时间，提高了时空分辨率。
20世纪数学的主流可以说是结构数学，这是法国布尔巴基学派的一大发明。数学的研究对象不再是传统意义上的数与形，数学的分类不再是代数、几何和分析，而是依据结构相同与否。例如，线性代数和初等几何“同构”，故而可以一起处理。布尔巴基学派的主将韦伊与文化人类学家列维—斯特劳斯有交往，后者用结构分析的方法研究不同文化的神话，发现其中的“同构性”，可以说这是语言学和数学相结合的产物。
列维—斯特劳斯引领的哲学潮流——结构主义在20世纪60年代的法国盛极一时，拉康、巴尔特、阿尔杜塞和福柯分别将之应用于精神分析学、文学、马克思主义和社会历史学研究，而德里达的解构主义则是对结构主义的批判。
展望未来，数学能否走向统一？这是人们关心的问题。
早在1872年，德国数学家F.克莱因就发表了著名的《埃尔朗根纲领》，基于他与挪威数学家、李群和李代数的发明人李在群论方面的工作，试图用群的观点统一几何学和数学。按照布尔巴基学派的观点，李群是群结构和拓扑结构的结合。随后群的观点便深入到数学的各个部分中去，可F.克莱因的目标仍遥不可及。将近一个世纪以后，加拿大数学家朗兰兹又举起了“朗兰兹纲领”的大旗。
1967年，他在给韦伊的信中，提出了一系列猜想，揭示了数论中的伽罗华理论与分析中的自守型理论之间的关系。
19世纪后期以来，数学的某些不同学科之间有相互渗透、结合的趋势，这推动了一系列新的数学分支的诞生。即便在当前，数学的分化依然是主流，最鲜明的特征是抽象化、专业化和一般化。相当部分数学存在脱离现实世界和自然科学的倾向，这是十分令人担忧的现象。那么，抽象化或结构最终能否成为数学统一的标签呢？
这种可能性无疑是存在的，可是无论如何，数学的统一无法在不断孤立自身的背景下实现。与此同时，“拼贴”逐渐成为艺术的主要技巧和代名词，拼贴也是哲学家努力找寻的现代神话。从前，我们理解的拼贴是把不相关的画面、词语、声音等随意组合起来，以创造出特殊效果的艺术手段。现在看来，这个范围还可以扩大，至少可以涵盖观念的组合。这样一来，拼贴就会在数学甚至更多文明中发挥作用。
可以说，数学中许多新的交叉学科就是拼贴艺术在这些领域发挥作用的结果。拼贴和抽象化在某种意义上是同一件事，只不过拼贴这个词来源于艺术，而抽象化则更多地让人联想到数学。
限于篇幅，我们没有讨论绘画以外的其他艺术形式，它们同样经历了抽象化的过程。比如建筑，从内容、形式到装饰都发生了重大变化。古罗马建筑师维特鲁威在《建筑十书》里提出了“适用、坚固、美观”三个词，成为判断建筑物或建筑方案优劣的准则。
即使文艺复兴时期的阿尔贝蒂，也只是把“美观”分为“美”和“装饰”，他认为美在于和谐的比例，而装饰只是“辅助的华彩”。20世纪以来，建筑师们终于意识到，装饰不再是无足轻重的华彩，而是不可或缺的无处不在的艺术组成部分（就像绘画中的拼贴那样）。其中，几何图形（无论是古典的还是现代的）扮演了非常重要的角色。
与音乐、绘画、建筑等艺术一样，数学是无国界的，几乎没有语言障碍。
它不仅是人类文明的重要组成部分，也可能是外星文明的重要组成部分。如果真的存在外星人，他们可能读得懂甚或精通数学。也就是说，地球人与外星人可望基于数学形式的语言进行沟通。早在1820年，数学家高斯就曾建议用毕达哥拉斯定理的图形化示范方法显示广袤的西伯利亚森林，作为发往太空的人类文明信号。
大约20年后，波西米亚出生的奥地利天文学家约瑟夫·冯·利特罗提出用充满石油的沟壑纵横的撒哈拉沙漠的图像作为文明信号。他们都认为，这类数学图片信号必定会引起富有智慧的外星生命的关注。遗憾的是，这两个想法均未能付诸实践。美国亚利桑那大学数学教授卡尔·德维托认为，两个星球开展精确的交流取决于科学的信息交流，为此两者必须首先学习对方的测量单位。
近年来，他和一位语言学家合作，提出了一种基于普遍科学概念的语言。他们认为，大气中化学成分或者星球能量输出的差异，可能能使不同星系的文明彼此交流。这一想法基于以下假设：两个星球都会一些数学方法和计算，都认可化学元素和周期表，都对物质状态进行了定量研究，都知道应用足够的化学物质进行计算。尽管如此，要成功联系到外星文明依然存在许多困难和障碍。
例如，外星人可能从不同的数学方法出发总结出运动的定律，这些定律可能与我们熟悉的定律大不相同。我们描述运动的数学基础是微积分，微积分是许多科学领域的基础，外星文明是否也这样呢？又如，外星人是否已建立起欧几里得几何学或非欧几何学？外星人的物理学可能与我们的物理学存在差异，他们是否承认哥白尼提出的太阳系宇宙学说？这也值得怀疑。同样棘手的问题是，如何从数学出发讨论人类文明的其他方面？
这正是本书探讨的一个问题，需要我们做大量跨文化的研究工作。