“悖论”不仅是一个极富吸引力的字眼，而且是逻辑学和数学推理中一个特别的专属概念。所谓“悖论”是指：对于一个命题Ａ，若承认Ａ，则可推得非A；反之，若承认非Ａ，又可推得Ａ。这个导致矛盾的命题A就被称为悖论。如若你觉得这样的定义过于抽象，那么不妨来看下面这段生动形象的描述：现在有一台运转正常的电脑，反应快捷，判断问题只在须臾之间。
假设这台电脑用开红灯表示“是”，开绿灯表示“不”，现在它被要求判断回答“下一次亮的是不是绿灯”。问题输入后，电脑开始运行，结果人们发现这台倒霉的电脑像发了狂一样不停地闪烁红绿灯。
导致其不知所措的原因其实很简单：如果它回答“是”，也就表明下面亮的确实是绿灯，可按照程序规定“是”却要开红灯；如果它回答“不”，表明下面亮的不是绿灯，可按照程序规定它回答“不”又要亮绿灯，所以电脑由于不知道究竟该怎么办而发狂。这则小故事直观地描述了“悖论”的特点，即让人陷入自相矛盾、左右为难的怪圈难以自拔。悖论让人们既痴迷又疑惑，在强烈吸引中彰显其神秘奇特，既而引发了人们普遍的关注和思考。
据说在古希腊一个叫克里特的地方，有个名叫伊壁孟德的传奇人物。证实他与众不同的一个细节是伊壁孟德曾经一觉睡了57年之久。有一天，伊壁孟德突然说了这样一句话：“所有的克里特人都是撒谎者。”本来人们对哲人的判断言听计从，可这句所谓神的旨意究竟是真是假引起了人们的争议。几乎所有刨根问底的人都不由自主被卷进伊壁孟德造成的漩涡里难以自拔。其中原因也不难理解：假定撒谎者总是说假话，不撒谎者总是说真话。
如果伊壁孟德说的是真话，那么所有克里特人都是撒谎者，可是伊壁孟德正是一个克里特人，那么他说的话必然就是假话，这样一来，前后就产生了矛盾；如果伊壁孟德这句话是假的，那么所有克里特人就不是撒谎者，而都是讲真话的，因为伊壁孟德是克里特人，他说的话必然又是真话，结果还是前后矛盾。这真让人迷惑，从逻辑推理来说，上面的推断严谨而合理，可得出的结论却让人抓狂，伊壁孟德的这句话怎么可能既是谎话，同时又是真话呢？
这就是逻辑悖论中著名的“说谎者悖论”，它反映出悖论在逻辑上不可避免的矛盾。荷兰的译音来自Nederland，意为“低洼之国”。这是因为荷兰全境均地势较低，所以荷兰境内呈现出河流密布，沟壑交错的特殊地貌。也正是由于这种特殊的地理条件，荷兰在很久以前就出现了许多小市镇。为了便于管理，每个小市镇均设立了镇长。
首先必须说明的是，没有任何人兼任两个或两个以上市镇的镇长，也没有任何市镇由两个或两个以上的人担任镇长。排除了这些特殊情况后，还要慎重加以说明的是，在这些镇长中，有的居住在自己任职的市镇中，人们习惯地称他们为“居民镇长”；有的则是在另外的市镇里居住，人们称其为“非居民镇长”。这原本也没什么值得大惊小怪的，直到有一年，荷兰专门开辟一块土地让这些“非居民镇长”居住，这项法令颁布后，奇怪的事情发生了。
随着经济的发展，这块专门的地区越来越繁华，面积也越来越大，“非居民镇长”的数量不断增加，很快这个地区就形成了一个新的市镇。显然，这个新形成的市镇也要设立镇长一职，这是大家都能接受的。但选出镇长后，人们却发现一个无法解决的问题，那就是：这个镇的镇长住不住在这个镇呢？如果此镇长住在这个镇，那么，他就成了“居民镇长”，但前面提到，荷兰划出这块专门地区是为了那些不能住在自己任职市镇里的镇长。
换句话说，只有“非居民镇长”才能住在这里，所以根据这一点判断此镇长不能住在这个镇。而如果此镇长不住在这个镇，那么，他又成了“非居民镇长”，而“非居民镇长”就应该住在这里。这的确让人大伤脑筋，无所适从，因为镇长分身乏术啊。“什么样的卡片能让人纠结？”请看下面这张由英国数学家P.E.B乔顿精心设计的“矛盾卡片”。如果你对动手操作感兴趣，也可以照此复制一张卡片慢慢琢磨。
需要说明的是，所谓矛面和盾面是指这张卡片的正反两面，为了让大家一目了然便于直观分析，所以加上了显著的标记。但这并不是“矛盾卡片”的重点，卡片值得反复推敲的玄机所在是正反两面上的判断语句。暂时没发现什么玄妙？
不要紧，请跟着笔者一起进入语境进行推理：如果矛面上的句子“卡片的另一面上的句子是正确的”为真，也就是说另一面即盾面上的句子是正确的，而盾面的句子是“卡片的另一面上的句子是错误的”，这句话若是正确的，则表明另一面即矛面上的句子又应该为假，这样就导致前后判断相互矛盾；同样的，由矛面上的句子“卡片的另一面上的句子是正确的”为假，可推断出另一面即盾面上的句子错误，而盾面的句子是“卡片的另一面上的句子是错误的”，恰恰印证了矛面上的错误判断，也就是说，事实上盾面上的句子是正确的，这样又导致前后判断相互矛盾。
以上是从矛面到盾面的分析，大家也可以从盾面到矛面分析，结果仍然会落入左右为难的境地。这种是也不是、不是也是的情况犹如“循环往复”的黑洞。可从表面上又确实看不出推理有什么破绽，人们似乎莫名其妙就陷入矛盾之中，这实在令人糊涂和纠结。你肯定会问：这么奇怪的悖论是如何出现的？从其发展过程中不难看出，悖论产生的根源在于客观世界所固有的矛盾。
人类的认知能力有限，对世界的认识是一个逐渐提高的过程，只能分时段、分层次由浅入深、由低到高慢慢掌握事物的规律，所以即便是大家公认的科学理论也只是某一时期、某一层次、某一领域的客观规律的部分反映，并不一定全面严密，而且人们对事物的认识还会随着时间的变化而变化。
比如在很长一段时间内，人们认识和接受的数是自然数，也习惯了用较大数减去较小数，而后来为了表示事实存在的相反意义的量，才引入负数的概念，这样用较小数减去较大数就不再荒唐。这说明，正是认知的局限变化和科学理论的非绝对真理性为悖论的产生提供了合理的“土壤”。接下来的问题是研究悖论有什么意义呢？回答是，悖论对人类的认知能力和科学发展将起到积极的推进作用。下面这个著名事例应该能够说明这一点。
亚里士多德是古希腊落体研究的代表人物。他的落体运动定律——不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比，因接近于日常生活的事实而得到人们的普遍认可。16世纪，意大利著名天文学家和物理学家伽利略对此“权威定论”产生疑问，于是就出现了1589年的“比萨斜塔实验”。众目睽睽之下，伽利略让两个重量不同的铁球同时自由下落，结果两个铁球同时落地。
除此之外，伽利略还进行了如下的假设推导：假设“物体越重，下落越快”的论断正确。那么，现在有两个物体A和B，A的重量超过B，根据假设可得，A下落比B快；接着，把A和B两个物体固定在一起得到物体C，显然C的重量更大，仍根据假设，C应该下落得最快。而分析C落下时的情形可发现：C由A和B两部分组成，下落时较重的A速度要快过较轻的B。
这样，较快的A在前面拉着较慢的B，较慢的B在后面拖着较快的A，那么受B的影响，A和B一起（即C）下落的速度应介于A和B单独自由下落速度之间。也就是说，C下落的速度比A慢。这与前面得出“C下落最快”的结论矛盾。伽利略采用“以彼之道，还治彼身”的方法，利用亚里士多德的判断作为前提进行严密推导，得出与前提矛盾的结论，从而在逻辑上推翻了亚里士多德深入人心的定论，为近代物理学的发展奠定了重要基础。
总而言之，悖论的出现让人欢喜让人忧。喜的是这种悖论之惑客观存在，它将激发人们的探索欲，并重新进行创造性的思考，而这种创造性的思考往往可以给人类带来全新的观念和认识；忧的是数学家面对悖论一下子陷入到逻辑的困境中莫衷一是，暂时还没有完善的解决方案。但我们有理由相信，悖论是打开新领域的“敲门砖”。