在虚拟现实中探索双曲空间

2017-05-08

以下文章来源于Nature自然科研，作者Nature自然科研原文作者：Davide Castelvecchi

“就好像整个宇宙都被包含在了一个半径只有几米的球体中，”美国俄克拉荷马州立大学的拓扑学家Henry Segerman形容道。他所描述的并不是服用迷幻药引起的幻觉，而是他在探索一个“弯曲”宇宙时的体验；在那里，日常的几何学法则并不适用。

数学家利用VR来模拟在双曲空间漫步。（图片来源：eleVR）

Segerman与他的合作者一道开发了一种软件，利用这种软件，任何拥有虚拟现实（VR）头显的人都能在这个弯曲的世界中漫步。今年2月，他们在arXiv.org预印本服务器上发表了两篇论文，预先描述了这一成果。

为了探索另类几何学的数学可能性，数学家们想象出了平行线可以相交或渐行渐远的“非欧几里德”空间。现在，在价格相对实惠的VR设备的帮助下，研究人员正让弯曲空间变得更易得（弯曲空间是一个对爱因斯坦有关引力的理论和地震学都有影响的反直觉概念）。在这一过程中，他们或许还会发现新的数学原理。

美国佐治亚理工学院的物理学家Elisabetta Matsumoto表示：“你能在脑海中想象这些概念，但在实际体验到之前，你是没法形成直观感受的。”

传统欧几里德几何学假定平行线之间永远保持相同的距离，既不会相交也不会渐行渐远。在非欧几何学中，这个“平行公设”被丢弃了。因此，两大可能性出现了：一种是球面几何学——平行线最终能够相交，正如地球的经线在极点交汇；另一种是双曲几何学，其中的平行线会渐行渐远。

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Matsumoto和Segerman都是“双曲VR(Hyperbolic VR)”项目的成员，这一项目旨在将双曲空间带给大众。项目成员还包括eleVR——一个由来自旧金山的数学-艺术家组成的团队。今年夏天，他们将在一场关于数学和艺术的会议上公布自己的成果。

上世纪80年代，数学家Bill Thurston革新了三维几何学研究。在一定程度上，他是通过想象自己在这样的空间中漫游做到这一点的。自此之后，数学家们开发出了各种动画，甚至还有飞行模拟器，以展示非欧空间的内部。

在三维环面内打球。（图片来源：Armas, Dumas, Reichman and Tran. Mathematical Computing Laboratory/UIC）

但与这些在电脑屏幕上呈现的可视化技术相比，VR的优势在于它再现了光线进入人眼的方式。在欧几里德空间中，盯着一个无穷远的点意味着双眼的的视线是两条平行线。但是，Segerman说，在双曲空间中，两条视线会渐行渐远，导致观看者产生不同的反应。“在这里，你要是想盯着一个无穷远的点看，就得稍稍对起眼睛。”他说，对我们的“欧几里德大脑”来说，这会让一切都感觉离得很近。

但这种近距离只是一种幻觉。双曲空间最奇异的特质之一就在于它的广阔。在欧几里德空间中，规定半径内的表面积的增长速度与半径的平方相当，体积的增长速度则是半径的立方，而在双曲空间中，面积和体积相对于半径的增长速度要快得多（呈指数增长）。这一现象造成的结果之一是，在双曲世界中漫步的人们会发现，步行距离内有更多的空间可供探访。

目前为止，在eleVR的世界中，除了探索由五边形和正十二面体等几何形状组成的瓷砖之外，其它能做的事不多。但团队计划在这个虚拟世界中修建双曲房屋和街道，并加入互动体验，如打“非欧几里德篮球”。研究者希望，他们的开源软件能在科学博物馆和日益壮大的VR消费爱好者中受到欢迎。

HaiTran在虚拟多联通空间中打乒乓球；他的同事DavidDumas（左）和BrandonReichman（中）在一旁观看。（图片来源：David Dumas）

其它研究者也在将双曲空间引入VR世界。2014年，伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校的数学家Daan Michiels开发了一个虚拟双曲宇宙，作为自己的学生科研项目。伊利诺伊大学芝加哥分校的拓扑学家David Dumas则和他的学生一起开发了一个虚拟双曲空间中的壁球游戏，在这个游戏中，无论将球打到什么方向，它最终都会回到起点。

或许在不久的将来，虚拟现实就会加入一系列可视化和实验工具的行列，帮助数学家进行探索发现。举例来说，可视化分形带来了有关基础数学原理的发现。“人们才刚刚开始理解怎样将VR作为研究工具来加以利用，”Dumas说。

Matsumoto表示，她的团队还想为更加奇异的几何空间开发VR体验。在一些这样的空间中，可能两条平行线在这一个方向上移动，彼此间的距离会保持恒定，但如果在另一个方向上移动就会相交或分离。绕着一个圆圈行走可能会把你带到一个比起点更高或更低的地方，就像上下螺旋楼梯一样。她说，将这样的几何空间可视化或可以成为极为实用的数学工具，因为“很少有人想到对它们进行可视化”。