波粒二象性、叠加态和量子纠缠，这些耳熟能详的量子行为无不揭示了量子力学的怪异和反直觉。但它们却精确的描述着我们这个世界的真实运作方式，被实验反复的验证。在许多科普文章中，作者通常会用许多的类比和概念试图准确地描述量子行为，但如果你想真正的理解量子力学的运作方式，你就必须要了解它背后的数学细节。因为只有通过数学，才能告诉我们究竟发生了什么。
数学上，一个量子物体是由薛定谔方程中的波函数（一个复函数）所描述的。波函数代表了系统的状态，它告诉了我们一个特定实验的各种结果的概率。为了找到这个概率，只要简单的把波函数和它的复共轭相乘就可以了。这也是为什么量子物体可以表现出波的行为（波函数）和粒子性质（可能结果）。一个量子物体用波函数 Ψ(r , t)表示，在时间 t，位置 r 探测到它的概率密度为波函数的绝对平方。
但是，薛定谔方程中的波函数并不是量子力学的唯一数学表述。一个量子物体也可以用矩阵来描述。正如海森堡所指出的，你观测的每种类型的量（比如位置、动量和能量）可以用矩阵来表示（即所谓的算符）。通过将算符和量子态矩阵以特殊的方式相乘，就会得到一个特定结果的概率。波的行为正是在矩阵中不同态之间的多种联系的结果。当然，事情不会这么轻易结束，费恩曼在后来发展了一种新的数学表述。
他认为量子物体的行为是由所有可能历史的总和所支配的，这种量子力学的表述被称为路径积分。一个量子粒子要从点 A 到达点 B，它必须通过一个特定的路径。但由于粒子可以有许多不同的路径（这跟经典粒子很不一样），你就必须计算每种可能的路径，并通过特定的方式把他们加起来决定粒子到达点 B 的概率。其实，有许多不同的数学方法都可以用来描述量子行为。
三面提到的三个只是最常见的，对于一个非相对性的量子理论来说，至少有九个数学模型可以用来描述量子行为。尽管在数学上采取了不同的方法，但它们做出的物理预言都是相同的。当我们将这些不同的数学模型应用在真实情况中时，它们每次给出的答案都是一致的。所以，哪个数学模型是正确的？从实验角度来说，它们都是正确的。因此，针对特定的情况你可以选择使用不同的版本。由此看来，量子理论的实在和量子理论本身一样不确定。
也许你会认为之所以有不同的数学表述是否是因为量子理论的反直觉性质造成的，但并不是。因为，同样的事情也发生在最直观和明确的牛顿物理上。在牛顿的模型中，物体是固体和真实的，它们的运动是由矢量力所支配的。如果你用力推一个物体，它会在一个特定方向加速。这是大家所熟悉的。牛顿大量运用几何方法和矢量作为研究工具，这个途径被称为矢量力学，但并不是唯一的数学表述。
拉格朗日和哈密顿等人建立的一套等同的力学表述方式，称为分析力学。在分析力学中，我们考虑的是约束量（比如物体的能量），而不是力。如果投掷一个棒球，它的运动是由动能和势能所约束的。这些约束决定了棒球的运动方程。分析力学也分为拉格朗日力学和哈密顿力学。在经典力学中还有其它的数学表述方式，比如高斯的最小约束原理和阿佩尔方程。它们都使用了不同的数学方法，并从不同的指导原理出发，但仍然给出了相同的预言。
因此哪个是正确的？是跟力有关的运动，或者是限制能量，又或者是其它的？科学的一个基本原则是科学模型必须是可检验的。肯定有一个方法是可以区分正确的模型和不正确的模型，而最终的裁决者是实验和观测。但没有任何规定说只能够有一个有效的理论。由于不同的数学表述都与实验相符，因此它们都是有效的理论。这或许是最令人惊奇的地方。数学的确包含了物理宇宙的真理。它允许我们发展出从其它方式无法获得的理解方式。
但这个数学真理并不是一个单一的绝对观点。数学是如此的强大，并且巧妙的连接在一起，使我们有了很多通往理解真理的道路。在数学世界中，两个看起来毫无相关的领域往往会揭示出优雅的联系，而这些联系指引我们更深入的理解物理实在。这是非常美妙的。因此，如果想要真正理解物理的美，就必须要理解数学。虽然并不总是很容易懂，但却值得为之付出时间。