纯数学是逻辑概念的诗篇。人们寻求操作的普遍概念，它能以一个简单的、逻辑的、统一的形式把尽可能多的形式关系汇集到一起。在寻求逻辑美的这个努力中，人们发现了更深刻理解自然定律所需的精神处方。
假设我随意挑选两个数字。我不会告诉你它们是什么数字，而把它们称为 A 和 B。如果我问你它们的和（A + B）是多少，可是你不知道 A 和 B 是什么数字，因此无法告诉我答案。但是你可以告诉我一件很重要的事情：答案会是个数字。这或许显而易见，但事实上它告诉我们一件关于数字的重要事情。任何两个数字相加都会得到一个数字。这是因为数字在加法运算下会形成所谓的“群”。
在物理科学中，有许多东西都是群，并且有实际的物理含义。例如，矢量在加法运算下就是群，把几个矢量相加，得到的答案也将是矢量。由于力是矢量，如果把几个施加在一个物体上的力全部加起来，就会得到决定物体如何运动的总力或净力。牛顿的运动定律就依赖于一个简单的事实：矢量是一个群。
旋转可以产生一个群，一个旋转的组合等同于另外旋转的组合。一个代表性的例子就是魔方。如果有人把一个魔方随机转动打乱，在你不知道他旋转的步骤下，你也可以用不同的旋转方法将魔方还原。魔方之所以有解正是因为魔方的旋转形成一个群。你用来还原魔方的旋转的组合等同于原来打乱魔方的旋转的组合。
这些不变量跟群的对称性有关。在物理上，对称性就是改变系统的一部分而保持整体一致的能力。
举个例子，想象一下你站在一个完美、且无限延伸的平坦表面上。如果你闭上眼睛，并向前走一步，然后打开你的眼睛，你会发现没有任何改变。你的确向前了一步（一个改变），但表面看起来并没有任何改变（对称性）。这就是所谓的平移对称性。换句话说，物理定律不随空间中的位置而变化，它在这里、哪里、任何地方都是一样的。数学上，这意味着一个物体的线性运动在位置改变的情况下保持不变。在物理上这就叫做动量守恒。
艾米·诺特利用群论的数学展现了在群中每一个描述一个物理现象的对称性都跟一个守恒量相联系。因此，平移对称性就意味着线性动量的守恒。角动量守恒则是源于旋转不变性。能量守恒（跟时间对称性联系）和电荷守恒（跟规范对称性相关），以及电场和磁场间的联系，都是群对称性的结果。这个关系被称为诺特定理。诺特告诉我们的是在宇宙中所有守恒量的存在之所以存在是因为在群这个抽象的数学概念中存在着对称性。
某些最优美、最强大的数学跟宇宙如何运作有着深层的物理联系。数学不仅仅只是描述围绕我们的世界。数学中最基本的联系描述了物理过程的基本原理。