魔群月光，这一神秘而富有诗意的名字，指的是现代数学中一个著名的猜想（现在已经是定理）。魔群，最大的散在单群，和数论中的模函数，这两个看起来风马牛不相及的对象通过这一猜想紧密地联系了起来。这样两个十分遥远的数学领域之间的桥梁本身已经足够神奇，但更令人不可思议的是，理解这座桥梁的线索来自于理论物理——弦论起到了关键性的作用。本文就将介绍当代数学和物理中这一美丽的篇章。
我有个一直藏在心里的愿望，一个没有任何事实和证据支持的愿望：在二十一世纪的某个时候，物理学家们偶然发现，魔群以出人意料的方式呈现在宇宙的结构中。——弗里曼·戴森（Freeman Dyson），1981年
一、引言
自从1984年以来，弦论在理论物理学中扮演了主要的角色，原因是在其发展初期的短短几个月内，弦论就被认为有可能在这一个理论框架中，既包含又推广爱因斯坦广义相对论和粒子物理标准模型（及其“大统一”推广）。
尽管弦论和可观测的物理现象之间的具体联系，还仅停留在理论的期望中，然而数十年来以弦论来构建的理论大厦，和其他许多物理学分支的交流依然成果丰硕，其中涉及的领域有粒子物理、引力物理、宇宙学、凝聚态物理和核物理。或许最让人吃惊的是，弦论对现代数学的发展也发挥了重要的影响，如微分几何、代数几何、纽结理论、表示论和数论中的一些美妙的发展，都受到了理论物理研究的推动，反之亦然。
本文将集中讲述这样一个故事：“魔群月光”（Monstrous moonshine），以及它的后代们“新月”（new moonshines），是如何衍生出一个极其丰富，却依然盖着神秘面纱有待进一步探索的领域的。“月光”统一了数学的几个迥然不同的领域，其原本的形式揭示了魔群和Klein函数的深刻联系。
前者是对称性基本单元里最激动人心和神秘的一份子，而后者在截然不同的另一数学分支（数论和模形式理论）中扮演了关键性的角色。
然而，为何在七十年代由研究群表示论的理论家们发现的结构，会与一个在十九世纪末期出于完全不同目的而研究的函数产生任何联系呢？以下，我们要逐一介绍这些故事中的英雄们，然后揭开其中出人意料的关联：它们都对理解弦论的一个特殊解起到了重要的作用。
在达到这一步的过程中，我们会领略现代数学和物理中几个绝妙的发展，它们将对称性、数论和统计力学中的想法统一起来。本文的末尾将介绍月光猜想的最新篇章，它会引导我们进入理论物理和数学中引人入胜的未知疆域。
二、对称性的基本单元对称性在我们感知和分析周遭世界的方式中有着举足轻重的地位。在通常的观念里，美的标准概念，往往体现为对称性，从人体的左右对称，到古代和现代艺术中显而易见的优美对称性。
在物理学中，对称性可以用来限制物理定律可能采取的形式。举一个简单的例子，我们相信在地球上任何一个实验室所观察到的物理定律都应该有同样的形式。换句话说，当我们把实验设备从加州的Palo Alto，通过平移或者转动，搬到日内瓦的欧洲核子研究中心（CERN），或者北京，基本的自然规律应该不会有任何变化。
这一事实在爱因斯坦的狭义相对论中被进一步提炼成为另一条基本原理：物理定律在洛伦兹变换（Lorentz transformations）下保持不变，这里洛伦兹变换就涉及到实验室之间的相对运动。
在凝聚态物理领域，类似于正多面体所具有的简单几何对称性起到了很重要的作用。举固体的分类作为例子，了解原子排列方式的晶体对称性有助于我们推断材料的某些物理特性。很自然地你会问：我们有没有可能对所有相关的对称性加以分类？对于晶体，其对称性分类在很多年以前就已经完成了，现在已是固体物理教科书中的经典内容。
但是，假如我们有兴趣想知道其它物理系统当中可能出现的对称性，如何将这些可能性加以分类？
怎样才能把对称性的研究变成一个形式化的数学问题呢？让我们先看一个简单的例子。一个正三角形有好几种对称性。我们可以旋转120度、240度或者360度，这些操作分别记为、、。我们也可以沿着三条对称轴之一翻转这个三角形，这些对称轴是从三角形的一个顶点到对边中心的连线，把沿着通过顶点1、2、3的翻转叫做、、。所有这些群操作的示意图请见图3。
更一般地，我们可以把几个对称操作结合起来。
举例来说，既然和都是正三角形的对称性，那么我们可以先把作用在正三角形上，然后再把作用上去，这样一个复合操作仍然是正三角形的一个对称性。这种把对称操作结合起来的运算——注意在一般情况下，执行这些操作的顺序是要紧的——给了我们一种在它们之间形式上的“乘法”概念。事实上，数学家认为对称操作形成了一个“群”（group）的结构，而对称操作的复合给出了群上的乘法运算规则。
除了乘法规则，群还应当满足其它一些简单的性质。比如说，对每个对称操作，都应该能够找到另一个对称操作，使得当我们把它们复合起来的时候，得到的结果不仅仅是一个对称操作，而且要让作用的对象完全不变。这样让作用对象完全不变的操作称为群的单位元，通常用1表示。
因此，对群中的每个元素都存在着一个使得最后，假如我们要执行这个操作，我们可以认为是要先做, 接着做，或者我们可以先做，然后再做，两种操作得到的结果应该完全一致。也就是说，群的乘法是满足结合律的。
我们所定义的群的概念，可以允许对称操作连续地依赖于某些变量。例如，和正三角形的情形完全不同，一个圆的对称群是连续的。我们可以把一个圆周绕着圆心转任意角度而不改变圆周的形状。
在这篇文章里，我们不考虑这种元素需要用连续变量来标记的群，并且进一步假设只有有限多个群元素。因为这一条件，它们有一个十分有创意的名字——有限群（finite groups）。我们能够完全分类有限群吗？这个目标还是太大了些。但是我们至少希望能够在这个方向上迈出重要的一步。
尽管完整分类宇宙当中所有可能的物质形态远远超出了我们目前的能力范围，但是随着元素周期表的确立，物理学家和化学家们成功地为我们提供了一组基本构件，能够以各种各样的方式来组成日常生活中所见的丰富多彩的物质。
粗略来说，构成对称群的“原子”是那些不能被拆成更小的群的有限群，称之为有限单群（finite simple groups）。令人惊叹的是，到20世纪末，数学家们成功地分类了有限单群。
为了取得这一成果，上百位数学家付出了艰辛的努力，发表了超过10000页的期刊文章。有限单群的分类计划是一项史诗般的工作，有人认为，没有任何一位数学家能够完全理解整个证明，尽管数学家们至今仍然在继续化简并提炼证明中蕴含的思想。
不管怎样，数学家们已经给我们提供了一张可以用来构建对称群的“周期表”。
这张周期表里有无穷多个组件，但是其中大部分在某种意义上都比较无趣：它们出现在包含无穷多个相类似的群的大家族里面。至少在比较直观的层次上，理解了其中一个基本上就意味着理解了同一系列中的所有群。这样的无穷多的家族在分类表中总共有18个。分类表里剩下的都是一些怪胎，没法被放进那些大家族里。就像高中里的书呆子一样，它们不得不各自单独待着。
这样的怪家伙一共有26个，被称为散在群（sporadic finite groups）。
这里面个头最大的，魔群（Monster group），是由Griess和Fisher在上世纪70年代发现的。这是一个巨大无比的群——一共包含了大概个不同的对称变换。想要通过写下乘法表，然后检查乘法的自洽性来证明这个群的存在，这是没有任何指望的。
“魔群”这个名字是John Conway起的，意指它庞大的体积和无与伦比的复杂性。我们在这里不准备详细描述魔群的构造，但是如果有好奇的读者想要领略一下这些构造的风味，在本文的最后一节里我们会介绍如何具体实现一个在“新月光”中出现的，相对比较简单的散在单群。
大概在1978年的时候，已经有人猜测了魔群的存在，但是完整的证明还没有找到。
可以确定的是，假如这个群真的存在，它不能作为对称群以任何非平凡的方式在低维空间的对象上作用（当然，它可以“平庸”地作用在任何低维对象上，包括1）。实际上，计算结果表明魔群能够作用的对象至少得是196883维。更一般地来说，魔群最小的几个表示的维数——也即魔群能够有不可约化的作用的空间维数——是1，196883，21296876，……
三、函数登场
约翰·麦凯（John McKay）是思考魔群的数学家中的一员。1978年的一个夜晚，他决定休息片刻。毫无疑问，思考这样维度数以万千（甚至更多）的对称群是项相当艰苦的工作。就像我们许多人在放松消遣时所做的一样，他翻阅了一篇近期关于数论的论文。
研读这篇论文的时候，他遇到了在数论中具有重要地位的Klein函数，这一函数由如下的无穷级数展开表示（省略了常数项）：此时他的思绪还没有完全跳离魔群，他立刻意识到。也就是说，函数级数展开式中第一个不平凡的系数，竟然和魔群的第一个非平凡表示的维数惊人地接近！随后，他和约翰·汤普森（John Thompson，菲尔兹奖得主，群论专家）意识到，这个“巧合”竟还延续到函数的高阶展开系数，例如。
从这些对数字的朴素观察中，“魔群月光”领域诞生了，其目标正是揭开和解释最大的散在单群（sporadic simple symmetry groups）与模函数（modular functions）理论（研究函数及其“同类”）之间玄妙的联系。
让我们暂停片刻，先来了解一下模函数指的是什么。考虑一个复变量的函数，它在如下两种变量替换（下文中称它们为变换和变换）下函数值均不变：即定义，如果某个函数可以用和来展开，那么很显然：在做类型的变量替换时，函数值不变。全纯函数（holomorphic functions）是只依赖于的函数（与无关）。如果一个全纯函数在上述和两种变换下均不变，那么就称为模函数。
对函数做和这两个变换看似怪异且缺乏动机，然而在了解如下背景后，我们会发现引入它们变得顺理成章：环面（亦可看做“甜甜圈”）可以用复平面上的二维点阵来定义。如果上半复平面中由或者相联系的点都被看作同一个点，那么我们就得到了一个“甜甜圈”，其形状仅由来决定。
然而，几何学告诉我们，不相同的值并不总是给出不等价的环面。如果两个环面所对应的可以由、两种变换以及它们的组合相联系，那么两个环面实际上是完全等价的，因为它们的形状一模一样。另一方面，调节可以改变环面的形状：同样大小的环面，看作一个甜甜圈的话，可以有相对“胖”或者“瘦”的环柄。
同样的、变换出现在环面和模函数两个看似不同的问题中绝非偶然。
模函数正好是从所有可能的环面映射到复数的全纯函数，而函数是这类模函数中最简单的一个，它对的级数展开形式，提供了“魔群月光”令人啧啧称奇的第一个暗示。事实上，函数最重要的作用（也是它最初被引入的原因）是，对于一些定义了环面的多变量多项式方程，相对应的环面的很容易通过这些方程来计算。由于函数将不等价的一一映射到复数上，这就给出了一个分类/区分不等价环面的简单方法。
四、弦论与24维杂货铺
现在，让我们绕道进入弦论。听说过哪怕一点点弦论的人都知道，弦论假定，粒子物理中世界线沿时空方向传播的点状粒子都是弦形成的微小的圈。在弦论的框架里，点状粒子的世界线变成了闭弦的世界面。
弦的张力非常巨大，达到了普朗克尺度（10的19次方GeV量级），是粒子物理中能讨论的最高能量尺度。这导致了在弦上传播的波（弦的“激发态”）有非常大的激发能，而通常的粒子则可以看成（稍微扰动过的）零能量激发。
然而，和粒子物理理论中一样，弦论中最基本的一个问题同样是：对一个给定的质量，到底存在多少种粒子？大二物理专业的学生会在统计力学的课程中学到如何计算配分函数，它度量了在给定的能量下物理态的数目：其中，n遍历所有的物理态，是温度的倒数。
费曼路径积分是理解配分函数的好办法。我们可以把配分函数Z看成粒子在周期性的虚时间下，以为虚时运动周期的路径积分。
我们可以设想以类似的方式来计算弦论的配分函数。
虚时路径积分需要换成如下的路径积分，在每个虚时时刻空间中都有一个由弦形成的圆。然后，满足周期边界的圆圈可以当作一个环面。环面参数替代了配分函数Z中的，于是配分函数可写作，其中我们定义了，以强调其与通常统计力学的相似性，对应该弦论中在能量处态的数目（能量均用弦张力的平方根，即弦的能标作为能量单位）。
由此我们可以引申出一个更重要的结论：根据前面的分析，相同的环面可以对应到不同的参数，它们之间由和变换互相关联。因此，定义良好的弦配分函数必须满足也就是说，在给定能量下弦的物理态数目的函数是模函数。
1984年，Frenkel、Lepowski和Meurman极富洞察力地意识到，有一个非常简单的弦论，其配分函数正好是Klein函数。回想一下，McKay的魔群猜想正是受到了函数级数展开的启发。
现在，这个弦论描述了存在于26维时空，最为简单的玻色弦在24维环面上的紧致化。直接推广之前用在二维环面的办法，维的环面也可以用维点阵来描述。与我们当前目的密切相关的不是任意环面，而是一个基于Leech点阵的环面。Leech点阵是个非常奇妙的数学对象，但是出于一个完全不同的原因：它给出了24维空间中单位球堆积问题的最优解。
通俗地说，如果想在一个24维的堆满橙子的杂货铺里堆尽可能多的橙子，那么按照Leech点阵的格点来堆是最理想的方式。
Frenkel、Lepowski和Meurman的工作表明，当弦在Leech点阵（更严格地说，是Leech点阵一个简单的商空间）上传播时，弦的配分函数作为能量的函数正好是Klein函数。他们的洞察力还不止于此。
Leech点阵跟散在单群之间的密切联系早已建立——事实上，John Conway正是在揭示这个点阵对称性的结构之时获得了启发，发现了以他命名的单群。Frenkel、Lepowski和Meurman注意到，他们考虑的弦论不仅继承了Conway群的对称性，实际上还超越了Conway群，魔群M在这个弦论之中有（虽然微妙，但是可以明确定义的）对称作用。
在物理学中，当一个理论具有某个群的对称性时，物理态也必须组成该对称群的表示。于是，在给定的能量下，物理态对应的能谱也就很自然地可以分解成该对称群表示的维数。函数的傅里叶系数则正好反映了上述一般规则，对应于有魔群对称性的物理体系。
上世纪九十年代初，理查·博切兹（Richard Borcherds）发展了从Frenkel-Lepowsky-Meurman的直觉一直到魔群月光猜想的最终证明所需的全部数学工具。这个领域发展的高潮是魔群月光猜想的证明，博切兹也因其在模形式、无穷维代数以及魔群之间联系的杰出贡献而获得1998年菲尔兹奖。
五、新月我们已经介绍了到2010年为止这一领域的状况。
此时物理学家们的热情已经有些冷却，因为虽然月光涉及的对象和想法是如此深刻和令人惊异，但紧致化到二维空间的玻色弦的物理意义，说得客气一点是值得商榷的。10维空间（而不是26维）中的超弦理论吸引了更多的注意力。超弦的很多特性在物理上和数学上都比玻色弦看起来更加美妙。
（超）弦理论在接下来的这些年间有很多进展，包括了像弦论对偶、全息原理，以及很多其它重要的思想，由于Leech格点在其中并没有起到重要的作用，理论物理学界在魔群月光这一领域没有太多的发展。
然后在2010年，江口徹（Tohru Eguchi）、大栗博司（Hiroshi Ooguri）和立川祐二（Yuji Tachikawa）发表了一篇短文。他们在数字上的洞见强烈地提示了魔群月光的某个变种，极有可能出现在最常见的玩具模型之一——紧致化于K3曲面上的超弦——当中。关于这一模型，过去的数十年间弦论学家们已经发表了数以百计的论文。
K3曲面是弦论学家着力研究的一大类空间中最为简单，同时又不平凡的例子。研究这类空间的目的，是为了从10维时空出发构建更加贴近真实的物理模型。其中的想法大致如下：为了得到我们感兴趣的四维时空中的场论或者引力理论，可以把10维空间中的其它6个维度，在爱因斯坦场方程的某个保持部分超对称的解当中卷曲起来。场方程实现这一条件的真空解即是所谓的六维卡拉比-丘（Calabi-Yau）流形。
它们必须满足一些相当苛刻的几何条件。K3曲面正是这种流形在四维的表亲，并且在某些方面更为简单，但仍然是如假包换的卡拉比-丘流形。
正是因为K3复杂度适中——具有一部分卡拉比-丘流形在四维的紧致化所需要的特性，但不是全部——弦论学家投入了大量精力来理解K3上的紧致化。
K3紧致化造出了一个六维的世界，其中有数种类似于真实宇宙中电磁力的相互作用；所以这个世界中的粒子可以携带一系列的电荷。
江口、大栗和立川发现，假如我们不去计算弦论在K3上的配分函数，取而代之以一种更为粗略的（但仍然满足模条件），只计入带这些电荷的严格稳定态的计数函数，那么我们会再一次发现展开的系数和一个简单的散在群的表示之间有着极为深刻的联系。这次他们猜测的群是19世纪Mathieu发现的M24，阶数是244823040。
我们已经好几次提到了散在单群，也许看一看其中一个成员M24的构造会有些趣味。实际上，M24可以看成是保持某一种二进制码不变的群。更具体来说，首先定义如下集合G:
· G的成员是由24个比特（0或1）组成的序列。
· 两个序列的交叠定义为序列中比特一样的位置的数目。一个序列属于G当且仅当它和G中所有其它序列的交叠为偶数。
· 序列中1的数目必须是4的倍数，但不能是4。
M24是所有保持G不变的24个比特的排列形成的群。
Eguchi-Ooguri-Tachikawa的发现立刻掀起了一波研究热潮，一方面是要更深入地理解K3曲面、M24群和Eguchi-Ooguri-Tachikawa所描述的特定模形式之间联系的本质，另一方面则是要寻找其它的“新月光”。
和魔群月光猜想的故事相比，这些新的对象——卡拉比-丘流形和函数的近亲，所谓的“拟模形式”（mock modular form）——成为了故事的主角。完整地解释这些新发现中的物理和数学要等到以后对它们有更多理解的时候，那将会是我们下一篇文章的内容了。
进阶阅读
想要对本文中相关的历史、数学和物理有更多了解的读者，可参考两本优秀的科普著作：Symmetry and the Monster（作者：Mark Ronan）和Symmetry: A journey into the patterns of nature（作者：Marcus du Sautoy）。
另外，还有一本关于John Conway的精彩传记也包含了相关的材料：Genius at play（作者：Siobhan Roberts）。