在爱因斯坦的广义相对论中，空间的结构可以改变，但拓扑保持不变。拓扑有这么一种性质，在不破坏任何东西的前提下，无论你如何拉伸或扭曲一个物体，它都保持不变。拓扑学家就是一群无法区分甜甜圈和咖啡杯的数学家。拓扑学家的职责是研究各种形状的属性，特别是在经过扭曲、拉伸或变形后的形状。这一系列的可能变换方式可以用一个数学概念来描述，即连续变形。大意是指“拉伸，但不撕裂或合并”。欧拉是拓扑学的创始人之一。
他通过思考图形在连续变化下不变的性质，研究出了将图形大致分类的方法。这一观点通常用咖啡杯和甜甜圈来解释。虽然乍看之下两者是完全不同的形状，但是让其表面经过连续的变化后，我们会发现甜甜圈变成了咖啡杯。在拓扑学上看，甜甜圈和咖啡杯是一样的。另一方面，球面无论怎么努力，只能变成无手柄的茶杯。因为让表面发生连续变化的时候，无法实现“开洞”的操作。
也就是说，从拓扑学的角度看，甜甜圈与咖啡杯的表面是同一类别的，球面属于其他的种类。如果两个物体能够被拉伸变化成同一个形状，那么它们就是“同胚”的。基于这个视角，几乎所有的日常用品都同胚于球体或者环（甜甜圈）等等。有些拓扑学分支允许物体在拉伸时穿越自己本身，有些则不允许。当我们考虑一个表面可以穿越其本身时，我们一定要注意这个表面不能被无限的捏紧，因为这会造成不连续性。
这里，有一个非常著名的例子就是你能够把一个球体的内部翻到外面来吗？如果你的答案是不可能，那你就错了。虽然这很难，但还是可以实现的。把球面和甜甜圈表面的差异用数字表示便是欧拉示性数。球面的欧拉示性数为2，甜甜圈表面的欧拉示性数为0。欧拉示性数不同的表面是无法让其发生连续变化的。
欧拉示性数是通过被三角剖分的表面的“面（F）”，“边（E）”和“顶点（V）”的数量计算出来的，即EC = F - E + V。球面被分割成四个三角形后，面的数量为4、边的数量为6、顶点的数量为4，因此欧拉示性数为2。即使尝试其他的分割方法，也不会改变欧拉示性数的答案。柏拉图多面体的欧拉示性数皆为2。根据同样的公式可以计算出甜甜圈的欧拉示性数为0，所有的环面的欧拉示性数皆为0。
如果物体有两个环面，那么欧拉示性数就是负数，即EC= −2；如果有三个环面，那么EC= −4，每每多增加一个“洞”，欧拉示性数就要减去2。数学家断言：莫比乌斯带只有一边。如果你不相信，就请剪开一个验证，带子分离时候却还是相连。到目前为止，我们讨论的所有形状都有一个共同特点就是：它们都是可定向的。举个例子，如果有一只小虫沿着一个环的外表面爬行，它会永远保持在外表面，而不会爬到内表面，反之亦然。
但是也存在不可定向的曲面，这就表示这只小虫可以在两个面上同时爬行。换句话说，在二维平面，不可定向的曲面并没有“内部”和“外部”之分。大家最熟悉的一个例子莫过于莫比乌斯带了（欧拉示性数为0）。莫比乌斯带是不可定向曲面。虽然像“莫比乌斯带的两个面”这样的说法有助于介绍我们的概念，但是这与拓扑学的思想是背道而驰的，因为在拓扑学中任何曲面都是二维的，所以在其中的生物也是二维的。
从这个角度思考，想像一只二维的小虫住在一个二维的曲面内部可能更加合适。在可定向的曲面中，我们有右手方向的小虫，和左手方向的小虫。但是对于不可定向的曲面，我们无法区分右手方向和左手方向的小虫。换句话说，不能通过沿曲面滑动把左手变成右手或把顺时针变为逆时针的曲面被称为可定向的。例如，球面、环面和双环面试可定向的。一个能做到上述改变的曲面，比方说莫比乌斯带，被称为不可定向的。
可定向性（或不可定向性）是一种拓扑不变量。拓扑学最初的成果之一是证明了只要有欧拉示性数和可定向性这两个拓扑不变量，你就能区分任何两个闭曲面。这就是说，如果两个闭曲面有相同的欧拉示性数，而且都是可定向的或都是不可定向的，那么它们事实上是一回事——即使你无论如何都弄不明白怎样把一个曲面通过连续变形而变成另一个。
这个结果称为曲面分类定理，因为它说只要用着两个特征你就能把所有的曲面分类（在拓扑学的意义上）。在认为曲面是二维的前提下，我们可以很方便地通过基本多边形来展现拓扑学空间。如果要将二维的基本多边形转化为三维的物体，我们只要将曲面的相应边向箭头所指的方向拉伸并粘合。
如下图，将平行的边（红色箭头指向相同方向）粘合会形成圆柱（EC = 0），将反向平行（红色箭头指向相反方向）的边粘合会得到莫比乌斯带（EC = 0）。一只二维的小虫爬过带有箭头的边界，会被转移到另一侧的边界，并按照原有箭头和现在箭头的关系给予它一个方向。这只小虫的走向是保持一致还是被反向了会告诉我们这一曲面是可定向的还是不可定向的。（注意，小虫是不允许穿过虚线边界的。
）如果要制作一个环面，先像之前那样制作一个圆柱，然后将圆柱的两端拉拉伸直到它们相遇并粘合在一起。如果要制作一个球体，将曲面在角落上折叠形成一个三角形的信封状，然后使它膨胀直到他成为一个球体。
莫比乌斯环的两条虚线边可以通过两种不同的方式结合，并形成两个无定向的曲面：克莱因瓶（EC=0），可以想象成一个镂空的红酒瓶，延迟酒瓶的颈部，向外扭曲伸进瓶子内部，再与底部的洞相连接；另一个是交叉帽磁盘（cross-capped disk）（EC=1），可以被认为是两个莫比乌斯带相交。在莫比乌斯带上，如果还有第三个维度来包含上述的基本多边形特征，我们可以大概搞清楚空间的“形状”。
上述的两个曲面都需要曲面可以穿越其自身。一个二维的小虫是无法感知到这一交叉的。只是对于它来说，整个世界都被翻转了。在拓扑学领域，有许多非常著名的问题被提出来。每一个都可以写一个篇幅，不过下面我只简单的介绍几个比较广为人知的问题：柯尼斯堡七桥问题：通常被认为是拓扑学所研究的第一个问题，在古普鲁士的柯尼斯堡镇曾经有七座桥，人们曾希望知道是否可以一次性的穿过这七座桥而不走重复的路。
欧拉在1735年证明了这是不可能的。掌心和指纹的纹理样式：指纹都具有共同的特点，如环点和三叉点（三条线融合）。在1965年，英国医学遗传学家Lionel Penrose指出掌纹和指纹服从一个普适的规律：任何有5只手指的手，三叉点一定比环点多4个。1979年他的儿子，Roger Penrose使用拓扑学证明了这一规律。Roger Penrose就是与霍金一起证明奇点定理的科学家。
毛球定理：一个长满毛的球体，你永远无法理顺球上的毛发。至少会有一处毛发是笔直站立的。球面外翻：在允许与自身相交的情况下，是否有可能无损地、平滑地、不留折痕地把一个球面的内侧翻到外面来。答案是肯定的。纽结理论：拓扑学的一个分支，专门解决不能够自己穿过自己活其它的环。其中一个专注的问题是确定两个不同的扭结是否是同胚的。昨天诺贝尔化学奖中提到的三叶形扭结就属于这一领域。
四色定理：1852年，一个名叫Francis Guthrie的数学家提出了一个看似无足轻重的问题：为了能在任何一张地图上给各个区域着色，你至少需要多少种颜色？唯一的约定是任何两个共有一条公共边界的区域必须被着上不同的颜色。答案自然是四种。那么是否存在需要五种颜色的地图？答案是否定的，但是这个问题用了100多年才被证明。该定理在计算机领域有重大应用。
庞加莱猜想：在本文中，我们只专注在二维空间的讨论，但是三维空间之间也会有奇怪的方式相互连接。庞加莱猜想首次于1904年问道：“考虑一个没有边界的三维流形V，即使V与三维球面不同胚，V的基本群是不是也可以是平凡的。”抛开专业属于，他问的其实是“一个具有圈收缩性质的三维流形是不是可能不与三维球面等价。”将近一个世纪之后，2000年，该猜想入选为克雷数学研究所悬赏的七个千禧年大奖难题之一。
庞加莱猜想是七个问题中第一个被解决的，由俄罗斯数学家Grigori Perelman在2002年解决。目前为止，我们只是简单的介绍了拓扑学，当然，它背后的魅力远远不止这些。
除了前两天提到的拓扑相变和化学拓扑之外，它还被广泛应用于许多其他学术领域，例如：理论物理 (比如量子场论和弦理论)；宇宙学 (用于研究宇宙的形状)；生物学 (缠绕的DNA和预测器官和其他身体部位的生长)；计算机科学 (用于确定数据集的大结构)；机器人(设计机械臂的运动)。等等。