在Joseph Polchinski的著作《弦理论》一书中有这么一个等式：1 + 2 + 3 + 4 + ...... = −1/12。这个等式表述的是所有自然数的和。是不是有些不敢相信？将正整数无穷相加后，竟然得到了一个负数！
首先，无限个自然数相加的和并不等于−1/12。这很容易被说服：当n越来越大时，S也就越来越大。举个例子，当n=1000时，就会得到一个很大的数；当n=100,000时，得到的数也会更大。这也是数学家所说的发散至无限大。或简单的说，这个级数的和等于无限大。
那么，−1/12到底是怎么来的？这个错误的结果其实可以追溯回1913年著名的印度数学家拉马努金的工作。
拉马努金知道自己在做什么，并且他是有理由的把它写下来。当时他正在研究欧拉函数。要理解这是什么意思，首先考虑无限和，我们可以把它写成S(x) = 1 + 1/2^x + 1/3^x + ...，现在，这个和就不再发散了。如果取一序列的部分和，你最终得到的结果会无限接近（但不超过）π²/6（= 1.644934...），数学家说该和收敛至π²/6，或简单的说这个无限和等于π²/6。
现在，如果把分母中自然数的平方改成其它的幂会发生什么？只要x > 1，S(x)就会收敛至一个有限的值。S(x)被称作函数，而欧拉函数则是得名于17世纪的大数学家莱昂哈德·欧拉。欧拉计算出S(2)= π²/6的时候才28岁，他因此一举成名。
到目前为止看起来一切顺利。但是，如果取x的值小于1会发生什么？比如，x = −1？我们就回到了原点，我们知道这个无穷级数是发散的。对于所有x小于或等于1的值都会发生同样的情况：无穷级数是发散的。想要得到一个有限的值就必须使用数学中的复分析。
1859年德国的数学家波恩哈德·黎曼发表了题为“在给定大小之下的素数个数”的论文。他找到了一种方法，即使x的值小于或等于1，也会得到一个有限的值。换句话说，他定义了一个新的函数，称为ζ(x)，因此对于x > 1，我们有S(x) = ζ(x)。当x ≤ 1时，函数ζ(x)被很好的定义并且有个有限的值。这个拓展的方法称作解析延拓，这个新的函数被称为黎曼ζ函数。
现在，我们有一个新的函数ζ(x)，当x > 1时，它与欧拉函数S(x)相吻合。但是，当你把x ≤ 1的值代入ζ函数时，就会得到一个有限的值。把x = −1代入ζ函数，就会得到：ζ(−1) = −1/12。如果你错误的认为当x = −1时，ζ(x) = S(x)，你就会（错误的）得到−1/12，这是其中一个使拉马努金的神秘表达式看起来有意义的方法。
注：在黎曼1895年发表的论文中，他提出了关于ζ(x)性质的一个猜想。黎曼的这个猜想尚未被证明，它是基础数学最重要的课题之一。大卫希尔伯特于1900年提出的23个问题，以及克雷数学研究所于2000年公布的千禧年大奖难题都收录了这一课题。想要赢取100万美金的读者赶紧对“黎曼假设”发起挑战吧！
那么这个错误的结果为什么会出现在物理教科书中？这也是事情变得有意思的地方。
如果你把一对金属板相互平行地放置在真空中，并且让它们靠近。根据经典物理，它们之间不会有任何力的作用。但是经典物理并不能解释微观世界的种种奇怪效应。这个时候你就需要量子物理，在量子世界中有许多无法用经典眼光去看待的问题。其中一个就是真空并不空，而且非常活跃，在真空中会有许多虚粒子不断地出现和消失。这个活动就会使真空存在所谓的零点能：一个物理系统所拥有的最低能量永远不为零。
当你尝试利用量子物理计算两个平行金属板之间的总能量密度时，你就需要知道无限和这个无限和也是当你把x = −3代入欧拉的ζ函数时会得到的。不幸的是，因为这个无穷级数会发散，这就意味着会有无限大的能量密度。显然，这不科学。但是，如果你厚脸皮的假设这个无穷级数等于黎曼ζ函数，而不是欧拉ζ函数，这个时候当x = −3时会得到什么？没错，你会得到一个有限的能量密度。
这意味着在平行金属板之间存在着很小的吸引力，这显然听起来也很荒谬，因为经典物理认为它们之间不存在力的作用。
卡西米效应。然而，实验是一切知识的试金石！当物理学家对此做实验的时候，的确发现平行金属板之间存在很小的力，会使平板被拉到一起，而它对应的能量密度正好等于ζ(−3)！！！这个令人惊喜的物理结果就是所谓的卡西米效应。
量子物理告诉我们能量密度必须是有限的，这很荒谬，但是实验却告诉我们如果你（错误的）把这个无限和当做ζ函数，并计算ζ(−3)的值，你就会得到正确的答案。看起来，自然似乎更喜欢这个结果。1 + 2 + 3 + 4 + ...... = −1/12的这个结果被广泛的应用在物理学当中。比如弦理论认为空间维度为25维，以及超弦理论认为空间维度为9维，都是基于这个结果从而推导出来的。