每年，来自全球各地的网球运动员都会齐聚美国网球公开赛，这也是网球界历史最悠久、规模最大的网球锦标赛之一。随着2015网球锦标赛的临近，我发现我又想起了自己打网球的一些经历，每次击球的体验都不太一样。这只是我们自己的主观感觉？还是其背后也存在对应的物理解释？在本篇博客中，我将说明如何用所谓的“甜区”来解释这种感觉。
根据机械振动理论，振动节点指当有波传过时不会发生位移的点。
由于波是由于球撞击球拍产生的，球拍转而会开始振动摇摆。当球拍的一端被运动员握在手中时，查看球拍的振型，此时可以找出振动位移为零的点，即在振动期间内任意时刻的振幅为零。下面是用COMSOL Multiphysics计算得到的三种不同振型：从左到右、从上到下的顺序分别表示网球拍的前三种振型。基础振型的频率为15 Hz；第二种振型的频率为140 Hz；第三种振型的频率为405 Hz。
如上所示，许多点都表现出了这一行为。那为什么我说的好像只存在一个振动节点呢？现实中其实存在无穷多的振动节点。当受到撞击后，球会产生无数个不同频率的谐波。一次会激活无限数量的频率，但哪个振动节点才是“甜区”呢？是基振节点还是不同谐波交叉后产生的节点？
很显然，基础振型节点不会是甜区：它位于手柄处。您可以尝试用手柄击球过网。运气非常好的话可能会成功，但这个概率非常低。同时，第二个振型还包含两个节点：一个位于手柄处，另一个位于靠近拍头处的网线处，后者被认为是甜区。用这一点击球时，所有球员基本上都不会感觉到振动。
当然，更高振型下也存在振动节点，如上方得到的第三种模式所示。但随着振型固有频率的增加，振幅将显著下降。下图显示了一个梁结构对持续5 ms的正弦式载荷的频率响应，这相当于球撞击球拍的时长。对于高于300 Hz的频率，振幅几乎为零。也就是说，第三种振型或更高频率振型的影响可以忽略。不论球撞到哪个位置，即使是在振型达到最大振幅的点，更高的振型由于没有任何激发，所以不会带来任何影响。
当网球击中球拍某点时，如果没有其他作用力，球拍将沿指向另一端的轴线旋转。随着在击点处球与球拍的质心距离逐渐接近，击点与旋转轴的距离将会缩短。当球正好撞到质心时，球拍将发生平移而非旋转。从数学角度来看，旋转的中点位于球拍的无穷远处。
即便如此，我们还是能找出一个撞击位置，它将在靠近手柄的端点处产生一个旋转中心，也就是选手的握拍位置。我们可以在质心的特定距离处找到一个位置，当球撞击球拍上的这个点时，会得到一个靠近手柄端点的旋转中心。这一点被称作撞击中心(COP)，有时也会被看作一个甜区。当球拍沿靠近球柄端点的旋转中心旋转时，会绕开选手的手，因此手不会受力。
我们有时也将功率点称作第三个甜区，它是最佳的弹跃点。换言之，球接触到这个点后会产生最好的弹性。从数学的角度来看，功率点定义为拥有最高回弹系数(COR)的点，COR就是回弹高度与球的入射高度之比。回弹系数是所有会影响球速的设计元素综合作用的结果，所以非常重要；它还为我们提供了一个综合视角来考察所有因素，设计工程师将无需单独了解每个参数的影响。
功率点位于球拍的拍喉处，靠近质心。该点与拍喉的距离越近，刚度越高，由于球拍变形造成的能量损耗越低。当球击中球拍时，冲击能会分为球、球拍及网球线上的动能和弹性能（变形能）。功率点处的变形很小，因此球拍能将几乎所有的动能传回球。
博客所介绍的球拍中最后一个很有意思的点是哑点。球击中哑点时，完全不会发生回弹。球传递的所有能量会传到球拍，不会有能量返回到球上。这是由于球拍在哑点处（通常较靠近端点）的等效质量等于球的质量。从力学的角度来看，哑点处产生的力与加速度之比等于球的质量。
我们已经深入了解了这三个相当出名的球拍甜区背后的物理含义。在振动节点，传递至网球选手及手臂处的不适振动最少。在打击中心点，对运动员手臂的初始冲击也是最小。最后，在功率点，球会以最快的速度发生回弹。