起源于古希腊的几何学理念在两千多年以来一直贯穿在人类的思想中，不管是科学还是哲学，甚至政治和艺术都是几何学思想的结晶。但是，19世纪初，几何学却经历了一场革命：人们发现，空间不一定非得是古希腊数学家欧几里德描述的那样，还可以有完全不同的几何学。在本文中，我们就将看到这一革命性的认识是如何影响哲学、科学、文化和艺术的。让我们先做一个实验吧：想象一个平面，上面有一条直线L和一个不在L上的点P。
平面上有多少条线平行于直线L并经过点P？如果你的答案是“显然只有一条”，那么你的直觉就是欧几里德式的。欧几里德也相信经过直线外一点只可能有一条直线与已知直线平行。但是如果你考虑在一个不是平面的表面上的线呢？事实证明，双曲抛物面上也可以形成一个完全合理、自洽的几何空间。原来空间可以不必符合欧几里得的描述（以及我们的直觉感知）——这种认识对于19世纪的数学家和思想家来说实在是太革命性了。
一旦你开始考虑空间的性质，你不可避免地会遇到这个问题：空间到底是什么？它是一种东西吗？它是一种物质吗？甚至，它是真实存在的吗？哲学家康德说空间存在于我们心中：我们在构建一个几何结构时，重要的不是画在纸上的图形，而是我们在思维空间中所看到的它们。但是，物理学家亥姆霍兹却认为，非欧空间和欧式空间一样真实。例如，我们都见过凸面镜（汽车的后视镜就是凸面镜），凸面镜中的镜像就是一个三维非欧空间。
法国数学家庞加莱的观点则更为激进：他也认为新的几何是革命性的，但是他既不同意康德也不同意亥姆霍兹。庞加莱认为，几何公设只是惯例（conventions）。那么，我们应该如何决定采用哪种惯例呢？是选欧几里德几何，还是新的非欧几何？庞加莱说我们可以根据经验来选择，但只要避免矛盾，选择哪种几何在根本上是自由的。
到了20世纪，黎曼几何（非欧几何的一种）找到了一展身手的用武之地。爱因斯坦在广义相对论中描述的空间，正是以黎曼几何来表述的。那么，这是否意味着真实空间实际上是非欧的？庞加莱会说，只是在这里非欧几何管用罢了。
非欧几何被发明以来，心理学家考虑了很多类似的情况。亥姆霍兹就做了一个实验，他让黑屋子里的受试者将桌子上的小光点排列成两条渐行渐远的平行线，发现用这些光点排出的线在观察者看来并不平行，而是发生了弯曲。亥姆霍兹因此认为，视觉空间是非欧的。
对空间主题特别感兴趣的一个思想家是西班牙的奥特加·伊·加塞特。奥特加用新的几何观来反对地方主义——他认为，正如欧几里得几何只是多种几何中的一种，无法外推到整个宇宙一样，假设我们自己的经验或价值观是普世的也是毫无根据的。
新的几何促进了艺术自由，激发了多种多样作品的诞生。只举一个例子，看这幅胡安·格里斯1912年画的巴勃罗·毕加索的肖像，它正是奥特加所说的“从所有角度来看现实”的真实写照。在建筑方面，一个杰出的代表就是今年刚刚去世的扎哈·哈迪德，她是第一位赢得普利兹克建筑奖的女性。她本科时学的专业是数学，谈及21世纪的世界时她曾说：“最重要的是运动，物体的流动，一种没有任何重复的非欧几何，一种新的空间秩序。”