力的概念早在汉密尔顿力学的框架内就失去了存在的合理性，但它却一直贯穿于我们处理力学问题的思维并在教科书中快乐地存在着。本文中，2004年度诺贝尔物理学奖得主、MIT物理学教授弗兰克·维尔切克从科学发展史、科学方法论以及文化与心理学的角度研究了这一悖论，读来令人有茅塞顿开之感。
在我的学生时代，经典力学是最让我费神的一门课。这常常让我觉得很奇怪，因为在我学习那些通常认为更难的高级课程时，并不觉得有什么困难。现在我想我已经找到答案了。这是“文化冲击”的一个例子。从数学的角度，我期望得到一个运算法则。结果我遇到的是一些完全不同的东西——实际上是某种“文化”。
牛顿第二定律 F=ma 是经典力学的灵魂。和其他堪称灵魂的东西一样，它并不那么牢靠。方程的右边是有确切意义的两项之积。
加速度是一个纯运动学的概念，可以根据空间和时间来定义。质量很直接地反映了物体的可测量性质（重量、反冲速度）。另一方面，方程的左边却没有独立的意义。然而，即便用最高的标准来衡量，牛顿第二定律显然意义重大：它在很多特定的情形下都十分有用。外观富丽堂皇、花里胡哨的桥梁，比如天鹅桥，确实能够承重；宇宙飞船确实能够抵达土星。
当我们以现代物理的观点去考察“力”的时候，就会进一步加深这个悖论。事实上，力的概念在很多基本定律的高级表达方式中是不存在的。它不出现在薛定谔方程中，不出现在量子场论的任何合理的公式中，广义相对论的建立也不需要用到它。早在相对论和量子力学产生之前，目光敏锐的人就观察到一个趋势：消除力的概念。
尤为惊人是，罗素在他1925年出版的相对论普及读物《相对论入门》中写道：“如果人们试着用新的方式看待这个世界，消除‘力’的概念将不仅仅影响到我们物理上的观念，而且可能还包括道义上和政治上的……在关于太阳系的牛顿理论看来，太阳似乎是一个发号施令的君主，行星则必须遵守这些命令；而爱因斯坦构造的世界里与之相比要多一些个人主义，少一些专制独裁。”这种想法是如此的特别而且颠覆传统。
为了弄清它的来源，我们看看这个公式是怎样应用的。一类很普遍的问题是给定一个力然后求解运动，或者相反。这看起来像是物理，但实际上只是微分方程和几何的练习题，加了一点伪装而已。为了与物理事实联系起来，我们必须对实际存在于这个世界上的力做一个声明，各种各样的假设被塞了进来，但经常并不说明。
经典力学里关于运动的第零定律是质量守恒。由于它过于基本所以牛顿没有明确指出，物体的质量被认为独立于速度和任何施加于它的外力，总质量既不产生也不消灭，只是在物体相互作用的时候重新分配。当然，如今我们知道以上内容并不十分正确。
牛顿第三定律指出，对于每个作用，存在着一个大小相等方向相反的反作用。而且，我们通常假定力不独立于速度。这两个观点也都不那么正确。例如，它们不能解释带电粒子间的磁相互作用。
在此我不作赘述。任何人仔细想一想就会发现，公式 F=ma 自身显然并不能为构建整个力学体系提供一个运算法则。这个方程更像是一种用以表达力学体系里各种不同的、有用的见解之公共语言。换句话说，对这些符号的解释包含了完整的文化。当我们学习力学的时候，我们不得不通过大量例题来领会力到底是什么，这不仅仅是经由练习培养技能的问题，而是我们吸收了由这许多假定构成的一种默认的文化。
不能认同这一点就是造成我困扰的原因。
物理和心理上的来源
我们发现，许多根植于“力的文化”中的观点并不完全正确。此外，我们今天认为更正确的那一套物理定律如果要嵌入这种文化的语言框架却不是那么容易的。要知道产生这种现状的原因，必须回答两个问题：为什么这种文化能持续繁荣？为什么它会最先出现？
对于物质的行为，我们今天拥有非常完善和精确的定律来描述，大体上涵盖了经典力学和更大范围内的现象。量子电动力学和量子色动力学为构建物质以及它们之间的非引力作用提供了基本的定律；广义相对论则使我们对引力有了充分的描述。从这些有利条件来看，我们可以得到有关“力的文化”整个领域及其边缘的清晰图景。
相对于早期的观点，20世纪的现代物质理论更精确、更具多视角的特点。量子电动力学和量子色动力学的方程形成了一个封闭的逻辑体系：它们告诉你什么样的物体会出现，同时能预先规范它们的行为，它们支配着你的测量设备，和你本身。因此，它们定义了什么样的物理问题可以被提出，并且为这些问题提供了答案，或者至少是得到答案的算法。
荒谬的是，相对于早期的并不那么完善的理论体系，现代物理的建立包含较少的解释和文化。方程仅仅提供算法，如此而已。虽然力本身不出现在现代物理的基本方程中，但这些方程显然包含着能量和动量，而力与这二者有着紧密的联系。所以力的概念没有远离现代物理的基础。
至于心理学上的问题——为什么从逻辑的角度，能量能解释力所能解释的一切，甚至比力做得更好，而力曾经而且仍然被引入到力学的基础中去？动量的改变——相对于力——是显而易见的，而能量的改变通常不易被察觉，这当然是一个主要的因素。另外，在静力学中作为一个主动的参与者，当我们举起重物时，可以明显地感觉到自己在做某件事情。力的概念就是从这种用力时的感官体验中提取出来的。
之前我论述了那些关于力和质量的假设是怎样为公式 F=ma 的内涵赋予实质的。我将这一系列的假设称为“力的文化”。我提到，尽管“力的文化”中的一些元素经常被称为“定律”，但是用近代物理的观点来看却显得非常奇怪。在此，我将讨论其中某些假设是在什么样的情况下如何作为近代物理基本原理之必然推论出现的——或者根本就不是。
具有讽刺意味的是，“力的文化”中最原始的第零定律，也即质量守恒定律，同近代物理基本原理之间存在着非常微妙的关系。经典力学中的质量守恒是狭义相对论中能量守恒的一个结果吗？表面上，这个例子或许显得很直白。从狭义相对论我们知道，物体的质量等于静能量除以光速的平方；对于缓慢移动的物体大约来说也是这样。因为能量是一个守恒量，于是这个方程似乎为“力的文化”中质量这一角色提供了一个合适的候选者。
但是，这个想法经受不住严格的推敲。考虑到我们通常是怎样处理基本粒子之间的反应和衰变时，它就明显地表现出逻辑上的漏洞。为了测定可能的运动，我们必需确定所有进出粒子的质量。质量是孤立粒子的内禀性质，也就是说，所有的质子都具有相同的质量，而所有的电子又具有另一个相同的质量，等等。实际上，这些粒子的能量和动量都是由众所周知的公式给出，运动是由能量守恒和动量守恒来约束的。
当然，物体速度较小时，质量确实减少到大致等于 E/c^2 。于是，质量不守恒的问题可以藏掖起来，因为只有不易觉察的（细小而缓慢运动的）暂时变动才昭显它的存在。可问题是力学问题的研究注意力就放在那些暂时变动上。也即我们还是利用能量守恒，减去质能项（或者，实际上忽略它），而只保留动能部分。
然而，牛顿将质量定义为“物质的量”，并且假设它守恒。这种表述的内涵是构造物质的过程仅表现为“积木”的重新排布，不涉及产生或消灭；同时，物体的质量是全体“积木”质量的总和。我们现在可以明白，何以从现代基本理论的观点来看，如果“积木”是原子核、重的原子内核和电子的话，前述这些假设依然构成绝佳的近似。
如果我们试着用更基本的“积木”（质子和中子）代替原子核，会发现质量并不是严格可加的。如果我们再前进一步到夸克和胶子层次，则发现原子核的质量很大程度上来自纯能量。表面上，对经典力学中质量的概念进行复杂而不精确的辩护形成了一个悖论：这个摇摇晃晃的结构怎样成功地支撑起极其精确而又成功的天体力学的预言的呢？答案是，它绕开了质量的概念。
牛顿为他的第三定律这样争辩：具有未被平衡的内力的系统会自发地开始加速，然而“这一现象从未被观察到”。但这种辩解实际上是直接导出了动量守恒定律。类似地，可以从物体不会自发旋转起来这一现象“推导”出角动量守恒。当然，纯粹从教学的观点，可以指出作用-反作用系统以及二体中心力是满足守恒律的简单途径。
一些关于力这个简单事实的默认假设在我们头脑中已经根深蒂固了，以至于我们很容易就认为它们是理所当然的。然而，它们具有深奥的基础。在计算力的时候，我们只将临近的物体考虑在内。为什么可以这样？包含了狭义相对论和量子力学基本要求的量子场论之局域性原理给出了某点上能量和动量（当然了，也就是力）的只依赖于临近该点的物体位置的表达式。
如我们所见，力的概念定义了一种文化。它既包含了在适当条件下我们可以从近代物理基础得到的近似，也包含了从经验中抽象出的略嫌粗放的推广（例如关于摩擦力和弹性行为的所谓的“定律”）。
上述讨论过程也让我们清楚地明白，关于质量 m 也存在着一个较小的但非平凡的文化。确实，一般物质的质量守恒为物理定律的呈展提供了一个绝佳而又有启发性的例子。
一句简单的表述就抓住了大范围规律性的要点，而此规律性的近代物理基础是坚实的但也是复杂的。近代量子色动力学的一大成就就是用质量严格为零的胶子和质量非常小的 u 夸克、d 夸克构建了在一般物质中占质量99%的质子和中子。
为了用近代的观点来解释为什么质量守恒通常是一个正确的近似，我们需要用到量子色动力学和量子电动力学的特别的、深层次的性质，包括量子色动力学中大能隙的出现以及量子电动力学中精细结构常数是一个小的数值。
当然，牛顿和拉瓦锡对所有的这一切一无所知。他们将质量守恒视为一个基本的原理。不过，他们这样做对了。运用这一原理，他们得以在分析运动和化学变化中取得了非凡的进步。尽管这一原理根本不成立，可它是（而且一直都是）许多定量应用的一个恰当的基础。抛弃这一原理是不可想像的。它本身是一件无价的文化的产物，而且，尽管（实际上部分是因为）其呈展的特性，它还提供了我们对世界运转方式的深刻认识。