田刚教授在2015年11月1日于北京大学北京国际数学研究中心的未来论坛上发表了关于庞加莱猜想与几何的演讲。他表示，今天的讲座将主要围绕数学历史展开，旨在传递数学的实用性。庞加莱猜想自1904年提出以来，一直是全球数学家的研究焦点，尽管目前尚未有实际应用，但其对思维方式和对自然真理的追求具有重要意义。
庞加莱猜想的提出与几何学的发展密切相关。田刚教授提到，数学，尤其是几何，涉及普遍而抽象的概念，与现实生活密切相关，但又不直接来源于具体事物。古希腊时期，几何被视为寻求真理的有效途径，毕达哥拉斯和欧几里得等数学家的贡献奠定了几何学的基础。
欧几里得的《几何原本》是几何学的重要著作，书中通过公理和定义推导出467个命题，尽管这些定理在当时没有实际应用，但其逻辑推理的美感至今仍被人们所推崇。田刚教授特别提到，欧几里得的平行公设引发了长达2000多年的争论，最终导致了非欧几何学的诞生。
庞加莱猜想是拓扑学中的一个重要问题，提出了任何单连通的闭合三维流形都同胚于三维球面。该猜想的研究推动了拓扑学的发展，并与物理学有着紧密的联系。田刚教授回顾了庞加莱猜想的历史，提到许多数学家在尝试证明这一猜想时遇到的困难。
最终，庞加莱猜想在2002年由俄罗斯数学家佩雷尔曼成功证明。田刚教授指出，佩雷尔曼的证明依赖于微分几何和分析的方法，并且涉及了许多数学家的研究成果。尽管佩雷尔曼的证明缺乏细节，但经过数学界的努力，最终补齐了证明的细节。
田刚教授总结道，几何学的研究虽然最初并非以实用为目的，但其成果在现代科技中发挥了重要作用，例如CT成像技术就是基于数学原理的应用。最后，田刚教授强调数学的价值在于其追求真理的过程，尽管有些研究结果尚未得到实际应用，但其潜在的价值不可忽视。