概率量化了一件事情发生的可能性。而条件概率嘛，比如说，你家楼下住了一位每天慢跑10公里的爷爷，那么他能顺利切到70岁蛋糕的概率，铁定比台湾人平均能活到70岁的概率大上许多，因为健康的他只要再活一天就可以了。给定某个条件下某个事件发生的可能性，即称为条件概率。如果还不清楚，请想像这样的场景：那是一个星期五的傍晚，珮颖独自走在夕阳下。在她转入小巷子时，她突然看到一位男子向她招手。
还没反应过来，珮颖听见身后引擎声响。回头一看，一台老旧的汽车正要通过。珮颖赶紧让到一边。汽车卷起灰尘离去，男子挥挥手咳了几声。珮颖这下看清楚他身上的工作证了。那年珮颖25岁，子威29岁。距离台湾男女平均寿命，各自还有57年与47年。星期五傍晚，珮颖在夕阳下踱步，落日的余温被玻璃隔绝在外，窗户这侧只剩冰冷的空调，医疗仪器的声响替时间画下一道道刻度。珮颖坐回病床旁，子威伸过手来握住珮颖，两人相视微笑。
“50年了，这一切过得真快。”这一年，珮颖75岁，距离台湾女性平均寿命还有7年；子威79岁，超过男性平均寿命3年。“这几年辛苦你了。”子威拿下氧气罩，气若游丝，距离诊断出癌症的那天到现在过了7年，前天他才刚从加护病房出来。“你才辛苦，已经超过平均寿命3年了，你做的很棒。”珮颖开玩笑地说。子威摇摇头，眼神望向床头柜上的笔记本，珮颖替他拿过来，里面满满的数学式子。
“还没，我还没赢过我这年纪的预期平均寿命。”“你这年纪的平均寿命？”子威休息了一下，一个字一个字慢慢说“我后来才知道，平常说的是平均寿命是指‘刚出生时所预期的平均寿命’，是最短的预期平均寿命。随着年纪增长，我们预期能够活的平均寿命就会慢慢变长。”“为什么？”“举个例子来说，4个同时出生的人，各自活到4岁、10岁、60岁、70岁。这样平均寿命是几岁？”“36岁。
”“5岁时，剩下3个人，这3人的平均寿命是46.7岁。 换句话说，给定活到5岁时，平均寿命从刚出生的36岁，提升到46.7岁。增加了10.7年。”“听起来有点像条件概率？”珮颖回答。他们夫妻的数学都不错。“年纪越大，样本空间里年轻早逝的人被排除在外，我们预期他们能够活的平均寿命就会越来越长。
假设y是表示寿命的随机变数，则x岁时的寿命期望值为——”笔记本上写着：“其中，P（y|x）是指给定x岁的人，寿命为y岁的条件概率。只要活到40岁，能活到70岁的概率就会比20岁时能活到70岁的概率更大。用数学式子表示是P（y=70|x=40） > P（y=70|x=20）。”子威接过笔记本，翻页又是一大堆算式：“我们再来定义一个‘x岁的平均剩余寿命’，意思是x岁的人平均还能再活几年。
它的数学式子是，”他指着第二个加总符号说：“取k' =k+1，可以得到结果为——”“换句话说，x岁的平均剩余寿命，就是把‘给定x岁后，还会活k年的概率’，从k=1到k=∞累加起来。”子威笑了，那笑容像在草地里捡到弹珠的小男孩，跑回来跟朋友炫耀的表情。“我查过了台湾官方的国民寿命表。在我这年纪的男性……竟然平均剩余寿命还有8.3年。照你的标准来要求，我还有8年要努力呢……做你的老公……真辛苦。
”“那就辛苦你了，请再为了我多活几年。”当晚半夜，子威紧急被送回加护病房。凌晨，珮颖签下放弃急救同意书。星期五傍晚，珮颖站在夕阳下。应该不可能习惯身边没有子威吧——不，不是不可能习惯，是我不希望习惯。“奶奶你还好吗？”“奶奶你搬过来跟我们住好了。”孙女试探性地问。珮颖知道孙女担心独居的自己触景生情。 “你放心，奶奶很坚强，可以照顾好自己，还能活很多年的。
你爷爷教过我一套观念……”珮颖向孙女解释起应用到条件概率的平均剩余寿命：“照你爷爷的说法，我还有11年好活。太早去铁定会挨你爷爷骂的。
”一旁还在念高中的小孙子插嘴说道：“可是奶奶，这观念有点奇怪，因为概率恒正，不管到几岁，平均剩余寿命永远是正的，表示当下的预期平均寿命永远会大于当下的年纪，那不就是说，人类可以永远活下去——”的确，这听起来有点像芝诺悖论：乌龟跟阿基里斯赛跑，每当阿基里斯快要追上乌龟，乌龟都会趁着阿基里斯追赶所花的时间，再往前移动一点，阿基里斯又得再追赶。
不论靠多近，乌龟永远有一小段时间可以再前进，阿基里斯永远追不上乌龟。小孙子没说错，给定现在的年龄，只要没破人瑞（常指年纪100岁以上的人）纪录，永远有人活得更久。平均剩余寿命永远大于零，永远可以活下去。但跟芝诺悖论不一样，芝诺悖论有数学上的问题；剩余寿命的观念尽管看起来不合理，但在数学上完全正确，没有漏洞。剩余寿命永远恒正，但那终究只是期望值，还是会有很多人在没活到那年纪之前就先离开。
这是体贴的子威留给她最后的礼物，一道用完美数学构成的甜言蜜语。