如何在间距1厘米点阵里，画出面积5平方厘米的正方形？小野妹子学吐槽：十一区小学4年级数学题：如下图，直线连结四个顶点，即成一个1平方厘米的正方形。那么请做一个2平方厘米的正方形，和一个5平方厘米的正方形……现在岛国网上一片哀号纷纷表示做不出这个用小学数学的思路要怎么做呢？狂欢的孤单 回答：以小学4年级的知识来解答，最好的思路是以面积来解答。
1X1的面积是1平方厘米，那么一半就是二分之一，2平方厘米就相当于4个二分之一。1X2的面积是2，一半就是1，那么5平方厘米可以分解为1X4+1=5，后面加上的1就是中间包围的一个1X1的方格。Ent 回答：啊，这是一道好题呀。解法并不难，只要想明白可以斜着画就行了。面积为2的正方形，边长是根号2，所以在图中寻找能连接成根号2线段的两点就行。面积为5，同理。
那么现在附加题来了：请问在这个点阵格子上，都能画出面积为多少的正方形？在一个这样的点阵上，任意两点之间连线的长度d，一定满足 d ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2，其中x和y为整数。而任意一条连线，一定对应两个等面积正方形；任意一个正方形，一定对应四条等长线段。所以，任意一个正方形的面积一定是d ^ 2的形式。所以问题化归为：怎样的数可以表达为两个完全平方数之和？
很可惜，这个答案并不是很优美……一个数可以表达为两个完全平方数之和，当且仅当这个数质因数分解后所有形为4m+3的因数的指数为偶数。换句话说，如果质因数分解后3、7、11、……等等因数，要么没有，要么有偶数个，那么它就能这么表达；否则只要有一个例外，就不能。这么说不好理解，举几个例子：5 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2，而5的质因数分解就是 5，5形如4m+1，所以所有4m+3因数的指数当然都是0。
180 = 6 ^ 2 + 12 ^ 2，而180的质因数分解是 2^2 * 3^2 * 5, 其中3的指数是2，偶数。2001不可以被表达为两个完全平方数之和。为什么呢？2+0+0+1=3，所以2001当然能被3整除；但正因为加起来为3而不是9，所以2001不能被9整除。所以2001一定有一个孤零零的因数3，所以不满足要求。
这个结论是从费马平方和定理延伸来的——费马证明了，一个质数可以表达为两个完全平方数之和，当且仅当这个质数的形式是4m+1 （换句话说，不是4m+3——质数嘛，除了2这个特例外是不可能表示为4m+2 和4m+4的）