在《霍比特人》的小说和电影版里，恶龙斯矛戈（Smaug，“四毛哥”）被一支箭——传说中的“黑箭”——打败。书里和电影里对箭的描述有些出入，所以我接下来就只用电影里的版本了。黑箭的发射效果。当然了，电影里可不是“连弩激射”。图片来源：《霍比特人2》预告片
你可以在《霍比特人2》预告片的这段剪辑看到，有个像弩机一样的装置发射黑箭（在书里，它是由普通的弓射出去的）。这支箭需要射得多快？这只弩机需要发出多大的力？下面开始分析。黑箭啥模样
显然，这不是一支普通的箭。这支箭要大得多，可能是铁或者钢做的（不确定）。我需要做的第一件事就是估计箭的大小。在一个镜头里，巴德（Bard，长湖镇的守护者）拿着仅剩的最后一支黑箭，企图将其藏起来。这个镜头展示出了箭的全长：
我在这里用演巴德的演员——卢克·伊万斯（Luke Evans）的身高来估计箭长。卢克有1.83米高。这样的话，我就设箭长为1.9米。它有可能短至1.7米，也可能长至2.1米。不管怎样，我有了长度的范围。
找出箭长并不太难。但质量怎么办？请允许我将黑箭近似看做一个半径1±0.3厘米的圆柱。如果我设长度为1.9±0.2米的话，算出的体积是（5.96±4.26）×10-4立方米。没错，这个不确定度和体积本身比起来非常巨大，这也是瞎猜的代价。
要算出这支箭的质量，我们可以假设它是铁（钢也行，随你乐意）铸的。借用7870 千克每立方米的密度，箭的质量大概是4.698±3.357 千克。大概是2.7至17磅之间。17磅的箭有点太重了。不过它们的均值4.698千克大概是10磅，貌似还凑合。
发射黑箭
幸运的是，我们有四毛哥最开始袭击孤山时矮人射另一只黑箭的小视频。视频里有箭在的帧数刚好够我画图分析其位置。下图是箭从弩机中射出的不同时刻下，黑箭末端的水平及竖直位置。从这些图像中，我算出箭的水平速度是12.4 m/s（米每秒），竖直速度是6.66 m/s。合速度的大小是14.08 m/s，角度是水平向上28.2°。这对一支箭来说并不算快。
如果我考虑一下长度估计里的不确定度，初速度就是14.08±1.48 m/s。说真的，这速度和玩具手枪射出的橡皮子弹更接近（没错，我测量过它的速度），完全算不上能杀死真·恶龙的真·武器。这大概也是为什么四毛哥消灭了矮人——他们的武器弱爆了。
事实上，我不觉得这个武器能够伤到任何在远处的人。比方说，我把这支箭用14m/s水平向上28°的初速度射出来，那么它的飞行轨迹会是这样的：
这是一支从15米高的塔上射下来的箭（忽略空气阻力）。这支箭上升了约2米后便下落，射开的水平距离也就30来米——这支箭糟透了。除非你能在直瞄射程（译注：射程中能够近似为直线，进行三点一线的瞄准的部分）内击中，屠龙是永远不可能的。
现实中的箭呢？
只是为了分析的完整性，我们来看看现实中的箭。
我计算了一下我射箭的数据。从这张图我们能看出，箭的发射速度（还是从一个简易的弓发出的——别说弩机，连个牛逼弓都不算）是30 m/s。这大概是视频里弩机射出的黑箭的两倍。当然，我不觉得这支箭就杀死恶龙了——尤其它还有个橡胶箭头。说真的，一个质量更好的弓（和一个更好的弓箭手）估计能将箭以两倍于此的速度射出。
矮人该怎么屠龙？
你现在可能在想：好吧，黑箭是慢一点。但是！这家伙比一般的箭大多了。这意味着它会有很大的动能，说不定能造成很大的伤害呢！
嗯，我听到你说的了，这种想法不无道理。不过，当你压根射不到龙的时候，你能对它造成多大的伤害呢？答案是，没伤害。
唔，那么得把箭射到多快，射中龙的机会才算还行呢？如果这支箭是以初速度50m/s向上45°射出去的，它能上升大概60米。这看起来至少还比较合理。恶龙可能会俯冲到这个攻击范围内。而一个100m/s的初速度也许会让人们有更大的把握对抗巨龙。
我们就用这个值吧。
现在你想以100m/s的初速度射出这支黑箭。这把箭能获得多少动能呢？这自然取决于箭的质量——而我刚刚估出了它的质量范围。动能的计算公式是：
用上文链接里提到的算不确定度的方法，我得出动能是23.5±16.8千焦。一支普通的箭可能重20克；如果以50m/s发射，它只会得到25焦的动能。就算速度加倍，动能也不过是100焦。这些都没法和黑箭相提并论。
那么，来射黑箭吧。下图是黑箭发射时的示意图。
因为我知道箭的终动能（起始动能是0），如果再加上力推动箭的距离，我便能解出箭受到的平均力。在霍比特人的预告片里，弩机大概向后拉了0.95米。这让平均力成了24,726±17,668牛，犀利。哦对了，我没把箭斜向上射的过程中转换的重力势能算进去。为啥？因为和动能比起来那太小了。
接下来是为什么你不会想手动拿着弩机，而是把它固定在高处了。因为我已经知道了（猜出了）黑箭的质量和速度，我能解出它的动量：
利用先前的数值，黑箭的动量大概是469.8±335.7 千克·米/秒（kg·m/s）。这看上去似乎没啥，但等等！根据动量定理，为了让物体的动量发生改变，你需要给它施力。如果正好有个人握着弩机，那么施在箭上的力和箭对弩机的反作用力是相等的。结果就是，要让箭的动量增加469 千克·米/秒，使用弩机的人需要（在另一个方向上）承受相同的冲量。
假设矮人和弩机总共重125千克。为了获得同样的动量，那个矮人会得到3.76±2.69 米每秒的反冲速度。没错，这对一个被弹回的矮人来说是相当快的。当然，鉴于那个矮人还有其他力作用在他身上来平衡后座力，反冲速度会低点。然后还有摩擦力。不管怎样，这个反冲还是很大的——而且这很有可能伤害矮人。
电影为何这么拍？
在电影里，箭走得太慢了。同时，《霍比特人》的原著里并没有弩机，巴德是直接用普通的弓射了箭。为何要做这些改动？
首先，我来分析下这个弩机。我怀疑这是个剧情点。设定里只剩一支黑箭了，所以必须要有。不过，如果巴德拿到了黑箭，他就能用自己的弓随意随处射龙了。这样太简单了。如果设定里加一个弩机，那么巴德就既要拿到箭同时到达弩机才行。这能让电影为此设计出更多情节。呃，我只是猜猜而已。箭的速度又怎么说呢？
假设他们把箭以100m/s射出。当它跨过0.95米的距离时（就像电影中一样），平均速度是50m/s（因为起始时静止）。以这个平均速度，箭只需要0.019秒就能射出。大部分电影都是每秒30帧拍摄的，每帧只有0.033秒。而要达到100m/s的发射速度，你甚至都看不到箭被射出去。让箭走得慢一点能够让场景看起来更夸张。《星球大战》中也发生了一模一样的事。星战里的爆能枪速度也极慢。（嗯，我也分析过。）
到最后，所有这些都是为了让电影更好看而已（我猜）。（编辑：Calo）
PS：在《霍比特人：五军之战》中，巴德与四毛哥的对决会“更科学”吗？还得看了才知道。