杨振宁是当代的大物理学家，又是现代数学发展的重要推动者，他的两项巨大成就——杨-密尔斯规范场和杨-巴克斯特方程，成为80年代以来一系列数学研究的出发点，其影响遍及微分几何、偏微分方程、低维拓扑、辫结理论、量子群等重大数学学科。这里记录的有关数学与物理学的关系，来自笔者在1995年末在纽约州立大学（石溪）访问杨振宁先生时的一些谈话材料，不是系统的谈话。
本文的中文版于1992年4月在台湾《数学传播》发表，内容不完全相同的英文版则刊于Mathematical Intelligencer Vol.15, NO.4, 1993。后者的中译文已被收入杨振宁的新著《读书教学再十年》（台湾时报出版公司，1995）。
1980年代初，杨振宁曾在韩国汉城作物理学演讲时说“有那么两种数学书：第一种你看了第一页就不想看了，第二种是你看了第一句话就不想看了”。
当时引得物理学家们轰堂大笑。此话事出有因。1969年，杨振宁察觉物理上的规范场理论和数学上的纤维丛理论可能有关系，就把著名拓扑学家Steenrod着的“The Topology of Fibre Bundles纤维丛的拓扑”一书拿来读，结果是一无所获。原因是该书从头至尾都是定义、定理、推论式的纯粹抽象演绎，生动活泼的实际背景淹没在形式逻辑的海洋之中，使人摸不着头脑。
另一则笑话，可在波兰裔美国数学名家S.M.Ulam的自传《一个数学家的遭遇》中读到。该书294页上写道：“杨振宁，诺贝尔物理学奖获得者，讲了一个有关现时数学家和物理家间不同思考方式的故事：一天晚上，一帮人来到一个小镇。他们有许多衣服要洗，于是满街找洗衣房。突然他们见到一扇窗户上有标记：‘这里是洗衣房’。一个人高声问道：‘我们可以把衣服留在这儿让你洗吗？’窗内的老板回答说：‘不，我们不洗衣服。
’来人又问道：‘你们窗户上不是写着是洗衣房吗’。老板又回答说：‘我们是做洗衣房标记的，不洗衣服’。这很有点像数学家。数学家们只做普遍适合的标记，而物理学家却创造了大量的数学。”
1995年12月，杨振宁先生接到复旦大学校长杨福家的来信，请杨振宁在1996年5月到复旦为“杨武之讲座”做首次演讲。杨武之教授是杨振宁的父亲，又是中国数学前辈，早年任清华大学数学系系主任多年，五十年代后则在复旦大学任教授，所以杨振宁很愉快地接受了邀请。但是他不能像杨福家校长要求的那样做20次演讲，只准备讲三次。顺着这一话题，杨振宁先生又谈了理论物理和数学的一些关系。
杨先生说：“理论物理的工作是‘猜’，而数学讲究的是‘证’。理论物理的研究工作是提出‘猜想’，设想物质世界是怎样的结构，只要言之成理，不管是否符合现实，都可以发表。一旦‘猜想’被实验证实，这一猜想就变成真理。如果被实验所否定，发表的论文便一文不值（当然失败是成功之母，那是另一层意思了）。数学就不同，发表的数学论文只要没有错误，总是有价值的。因为那不是猜出来的，而有逻辑的证明。
逻辑证明了的结果，总有一定的客观真理性。”
1959年，Aharanov和Bohm设计一个实验，表明向量势和数量势一样，在量子力学中都是可以测量的，打破了“可测的物理量必须是实数”的框框。这一实验相当困难，最后由日本的Tanomura及其同事于1982和1986先后完成。这样，物理学中的可测量终于扩展到了复数。
令我惊异的是，杨振宁教授预言，下一个目标将是四元数进入物理学。自从1843年爱尔兰物理学家和数学家Hamiton发现四元数之后，他本人曾花了后半辈子试图把四元数系统，像复数系统那样地广泛运用于数学和物理学，开创四元数的世纪。但结果是令人失望的。人们曾评论这是“爱尔兰的悲剧”。
杨振宁先生又说，至于将复变函数论形式地推广到四元数解析理论，由于四元数乘积的非交换性，导数无法唯一确定，所以不会有什么好结果出来。现在也有物理学家写成著作，用四元数来描写现有的物理定律，就没有引起什么注意。将来要用四元数表达的物理定律，一定会是一组非线性微分方程组，其解的对称性必需用四元数来表示。所以，杨先生相信：“爱尔兰的悲剧是会变成喜剧的”。
数学和物理学的关系，应该是十分密切的。在数学系以外的课程中，物理系开设的数学课最多最深。“物理学公理化，数学化”，曾是一个时期许多大学问家追逐的目标。不过，擅长使用数学于物理的杨振宁教授却认二者间的差别很大。他有一个生动的“双叶”比喻，来说明数学和物理学之间的关系。他认为数学和物理学像一对“对生”的树叶，他们只在基部有很小的公共部分，多数部分则是相互分离的。
杨振宁先生解释说：“它们有各自不同的目标和价值判断准则，也有不同的传统。在它们的基础概念部分，令人吃惊地分享着若干共同的概念，即使如此，每个学科仍旧按着自身的脉络在发展。”